Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 7

Nội dung text: Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 7

1. Bµi d¹y Båi d­ìng §¹i sè líp 7. C huyªn ®Ò: TÝnh chÊt cña d·y tØ sè b»ng nhau (buæi 2). Bµi 1: T×m ph©n sè a biÕt r»ng nÕu céng thªm cïng mét sè kh¸c 0 vµo tö vµ mÉu th× gi¸ trÞ b cña ph©n sè ®ã kh«ng thay ®æi ? Më réng: Víi mét ph©n sè bÊt kú a ta céng thªm vµo a sè x, céng thªm vµo b sè y. b H·y t×m quan hÖ cña x vµ y ®Ó gi¸ trÞ cña ph©n sè a kh«ng thay ®æi sau khi céng ? b a b c Bµi 2: Cho ; CMR: a = b = c; víi gi¶ thiÕt c¸c tØ sè ®Òu cã nghÜa. b c a a b c Bµi 3: Cho ba tØ sè b»ng nhau: , , . T×m gi¸ trÞ cña mçi tØ sè ®ã ? b c c a a b a c Bµi 4: Cho tØ lÖ thøc: ; Chøng minh r»ng : b d 5a 3b 5c 3d 7a 2 3ab 7c 2 3cd a) ; b) . 5a 3b 5c 3d 11a 2 8b 2 11c 2 8d 2 2a 13b 2c 13d a c Bµi 5: Cho tØ lÖ thøc: ; Chøng minh r»ng: . 3a 7 b 3c 7 d b d 3 a b c a b c a Bµi 6: Cho . CMR: ; víi gi¶ thiÕt c¸c tØ sè ®Òu cã nghÜa. b c d b c d d a a a a Bµi 7: Cho d·y tØ sè b»ng nhau: 1 2 3 ... 2008 a 2 a 3 a 4 a 2009 2008 a a a a ... a CMR: Ta cã ®¼ng thøc: 1 1 2 3 2008 a 2009 a 2 a 3 a 4 ... a 2009 2 2 Bµi 8: Cho 4 sè a1; a2; a3; a4 tho¶ m·n: a2 = a1.a3 vµ a3 = a2.a4. 3 3 3 a1 a 2 a3 a1 Chøng minh r»ng: 3 3 3 . a 2 a3 a 4 a 4 b z cy cx az ay b x x y z Bµi 9: Cho d·y tØ sè : ; CMR: . a b c a b c a b' b c' Bµi 10: Cho biÕt : 1; 1 . CMR: abc + a’b’c’ = 0. a' b b' c a 2 b 2 a b a c Bµi 11*: Cho tØ lÖ thøc : . Chøng minh r»ng: . c 2 d 2 c d b d Bµi 12: T×m c¸c sè x, y, z biÕt : a) x : y : z = 3 : 4 : 5 vµ 5z2 – 3x2 – 2y2 = 594; b) x + y = x : y = 3.(x – y) Bµi 13: T×m hai sè h÷u tØ a vµ b biÕt r»ng hiÖu cña a vµ b b»ng th­¬ng cña a vµ b vµ b»ng hai lÇn tæng cña a vµ b ? Bµi 14: Cho 2002 sè tù nhiªn, trong ®ã cø 4 sè bÊt kú trong chóng ®Òu lËp nªn mét tØ lÖ thøc. CMR: trong c¸c sè ®ã lu«n lu«n tån t¹i Ýt nhÊt 501 sè b»ng nhau. Bµi 15: Cã 130 häc sinh thuéc ba líp 7A, 7B, 7C cña mét tr­êng cïng tham gia trång c©y. Mçi häc sinh cña 7A, 7B, 7C theo thø tù trång ®­îc 2 c©y, 3 c©y, 4 c©y. Hái mçi líp cã bao nhiªu häc sinh tham gia trång c©y biÕt r»ng sè c©y trång ®­îc cña ba líp b»ng nhau ? =============================================================== 1
2. Bµi d¹y Båi d­ìng §¹i sè líp 7. H­íng dÉn gi¶i chuyªn ®Ò TÝnh chÊt cña d·y tØ sè b»ng nhau (buæi 2) Bµi 11: 2 a 2 b 2 ab 2ab a 2 2ab b 2 a b ab a b a b a.b Ta cã : = ; c 2 d 2 cd 2cd c 2 2cd d 2 c d 2 cd c d c d c.d c a b b c d ca cb bc bd ca bd a c 1 ca cb ac ad cb ad a c d d a b ac ad da db ca bd b d Bµi 12: a) §¸p sè: x = 9; y = 12; z = 15 hoÆc x = - 9; y = - 12; z = - 15. b) Tõ ®Ò bµi suy ra: 2y(2y – x) = 0, mµ y kh¸c 0 nªn 2y – x = 0, do ®ã : x = 2y. Tõ ®ã t×m ®­îc : x = 4/3; y = 2/3. Bµi 13: Rót ra ®­îc: a = - 3b, tõ ®ã suy ra : a = - 2,25; b = 0,75. Bµi 14: NhËn xÐt: Trong 2002 sè ®· cho chØ nhËn nhiÒu nhÊt 4 gi¸ trÞ kh¸c nhau. ThËt vËy: Gi¶ sö cã nhiÒu h¬n 4 gi¸ trÞ kh¸c nhau, ta gäi a1 < a2 < a3 < a4 < a5 lµ 5 sè kh¸c nhau bÊt kú. Khi ®ã víi 4 sè ®Çu tiªn ta cã: a1.a2 kh¸c a3a4; a1a3 kh¸c a2a4; ChØ cã thÓ a1a4 = a2a3 (1) Nh­ng khi ®ã víi 4 sè a1, a2, a3, a5 th× còng cã a1a5 = a2a3 (2) Tõ (1) vµ (2) suy ra a1a4 = a1a5 suy ra a4 = a5 v« lý. VËy cã Ýt nhÊt 2002 div 4 + 1= 501 sè b»ng nhau. C huyªn ®Ò: luü thõa cña mét sè h÷u tØ. Bµi 1: Dïng 10 ch÷ sè kh¸c nhau ®Ó biÓu diÔn sè 1 mµ kh«ng dïng c¸c phÐp tÝnh céng, trõ, nh©n, chia. Bµi 2: TÝnh: 82.45 8111.317 a) (0,25)3.32; b) (-0,125)3.804; c) ; d) . 220 2710.915 Bµi 3: Cho x Q vµ x ≠ 0. H·y viÕt x12 d­íi d¹ng: a) TÝch cña hai luü thõa trong ®ã cã mét luü thõa lµ x9 ? b) Luü thõa cña x4 ? c) Th­¬ng cña hai luü thõa trong ®ã sè bÞ chia lµ x15 ? Bµi 4: TÝnh nhanh: a) A = 2008(1.9.4.6).(.9.4.7) (1.9.9.9); b) B = (1000 - 13).(1000 - 23).(1000 - 33 ) (1000 – 503). Bµi 5: TÝnh gi¸ trÞ cña: a) M = 1002 – 992 + 982 – 972 + + 22 – 12; b) N = (202 + 182 + 162 + + 42 + 22) – (192 + 172 + 152 + + 32 + 12); c) P = (-1)n.(-1)2n+1.(-1)n+1. =============================================================== 2
3. Bµi d¹y Båi d­ìng §¹i sè líp 7. Bµi 6: T×m x biÕt r»ng: a) (x – 1)3 = 27; b) x2 + x = 0; c) (2x + 1)2 = 25; d) (2x – 3)2 = 36; e) 5x + 2 = 625; f) (x – 1)x + 2 = (x – 1)x + 4; g) (2x – 1)3 = - 8. 1 2 3 4 5 30 31 h) . . . . ... . = 2x; 4 6 8 10 12 62 64 Bµi 7: T×m sè nguyªn d­¬ng n biÕt r»ng: a) 32 < 2n 128; b) 2.16 ≥ 2n 4; c) 9.27 ≤ 3n ≤ 243. ( x 5) ( x 6)( x 6) Bµi 8: Cho biÓu thøc P = (x 4)(x 5) . H·y tÝnh gi¸ trÞ cña P víi x = 7 ? Bµi 9: So s¸nh: a) 9920 vµ 999910; b) 321 vµ 231; c) 230 + 330 + 430 vµ 3.2410. Bµi 10: Chøng minh r»ng nÕu a = x3y; b = x2y2; c = xy3 th× víi bÊt k× sè h÷u tØ x vµ y nµo ta còng cã: ax + b2 – 2x4y4 = 0 ? Bµi 11: Chøng minh ®¼ng thøc: 1 + 2 + 22 + 23 + + 299 + 2100 = 2101 – 1. Bµi 12: T×m mét sè cã 5 ch÷ sè, lµ b×nh ph­¬ng cña mét sè tù nhiªn vµ ®­îc viÕt b»ng c¸c ch÷ sè 0; 1; 2; 2; 2. C huyªn ®Ò: Gi¸ trÞ tuyÖt ®èi cña mét sè h÷u tØ. Bµi 1: T×m tÊt c¶ c¸c sè a tho¶ m·n mét trong c¸c ®iÒu kiÖn sau: a) a = |a|; b) a |a|; d) |a| = - a; e) a |a|. Bµi 2: Bæ sung thªm c¸c ®iÒu kiÖn ®Ó c¸c kh¼ng ®Þnh sau lµ ®óng: a) |a| = |b| a = b; b) a > b |a| > |b|. Bµi 3: Cho |x| = |y| vµ x 0. Trong c¸c kh¼ng ®Þnh sau, kh¼ng ®Þnh nµo sai ? a) x2y > 0; b) x + y = 0; c) xy < 0; 1 1 x d) 0; d) 1 0. x y y Bµi 4: T×m gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau: a) B = 2|x| - 3|y| víi x = 1/2; y = -3. b) C = 2|x – 2| - 3|1 – x| víi x = 4; Bµi 5: Rót gän c¸c biÓu thøc sau: a) |a| + a; b) |a| - a; c) |a|.a; d) |a|:a; e) 3(x – 1) – 2|x + 3|; g) 2|x – 3| - |4x - 1|. Bµi 6: T×m x trong c¸c ®¼ng thøc sau: a) |2x – 3| = 5; b) |2x – 1| = |2x + 3|; c) |x – 1| + 3x = 1; d) |5x – 3| - x = 7. Bµi 7: T×m c¸c sè a vµ b tho¶ m·n mét trong c¸c ®iÒu kiÖn sau: a) a + b = |a| + |b|; b) a + b = |b| - |a|. =============================================================== 3
4. Bµi d¹y Båi d­ìng §¹i sè líp 7. Bµi 8: Cã bao nhiªu cÆp sè nguyªn (x; y) tho¶ m·n mét trong c¸c ®iÒu kiÖn sau: a) |x| + |y| = 20; b) |x| + |y| < 20. Bµi 9: §iÒn vµo chç trèng ( ) c¸c dÊu , , ®Ó c¸c kh¼ng ®Þnh sau ®óng víi mäi a vµ b. H·y ph¸t biÓu mçi kh¼ng ®Þnh ®ã thµnh mét tÝnh chÊt vµ chØ râ khi nµo x¶y ra dÊu ®¼ng thøc ? a) |a + b| |a| + |b|; b) |a – b| |a| - |b| víi |a| |b|; a | a | c) |ab| |a|.|b|; d) ... . b | b | Bµi 10: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: a) A = 2|3x – 2| - 1; b) B = 5|1 – 4x| - 1; c) C = x2 + 3|y – 2| - 1; d) D = x + |x|. Bµi 11: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña c¸c biÓu thøc: 1 a) A = 5 - |2x – 1|; b) B = ; | x 1| 3 Bµi 12: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc C = (x + 2)/|x| víi x lµ sè nguyªn. Bµi 13: Cho |a – c| < 3, |b – c| < 2. Chøng minh r»ng: |a – b| < 5. Bµi 14: §­a biÓu thøc A sau ®©y vÒ d¹ng kh«ng chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi: A = |2x + 1| + |x - 1| - |x – 2|. Bài 1: Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh bằng 3cm,4cm,5cm.Chứng minh rằng tam giác ABC vuông. Bài 2: Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh bằng 6cm,8cm,10cm.Chứng minh rằng tam giác ABC vuông. Bài 3:Độ dài các cạnh góc vuông của một tam giác vuông tỉ lệ với 8 và 15, cạnh huyền dài 51cm. Tính độ dài hai cạnh góc vuông. Bài 4: Tam giác ABC có góc A tù, Cˆ = 300; AB = 29, AC = 40. Vẽ đường cao AH, tính BH. Bài 5: Cho ABC, trung tuyến AM cũng là phân giác. a/ Chứng minh rằng ABC cân b/ Cho biết AB = 37, AM = 35, tính BC. µ µ µ 0 Bài 6. Trên hình 3 cho B C D 360 . Chứng minh AB // ED B A C E D Hình 3 Bài 7: Trong hình 1 cho MN // PQ. Tìm số đo góc B =============================================================== 4
5. Bµi d¹y Båi d­ìng §¹i sè líp 7. M 200 N B ? 400 P Q Hình 1 Bài 8:Cho góc xOy. Trên tia Ox lấy M, N. Trên tia Oy lấy P, Q sao cho OM = OP, PQ = MN. Chứng minh : a. OPN OMQ b. MPN PMQ c. Gọi I là giao điểm của MQ và PN. Chứng minh IMN IPQ d. Chứng minh OI là tia phân giác của góc xOy e. OI là tia đường trung trực của MP g. c/m MP//NQ Bài 9. Cho tam giác ABC có Aµ 900 . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AC và AB. Trên tia đối của tia MB lấy K sao cho MK = MB. Trên tia đối của tia NC lấy I sao cho NI = NC. Tính A· CK Chứng minh IB//AC, AK//BC Chứng minh A là trung điểm của IK Bài 10. Cho tam giác ABC, D là trung điểm của AB, E là trung điểm của AC. Vẽ F sao cho E là trung điểm của DF. Chứng minh : a. DB CF ; b. BDC FCD 1 c. DE // BC vµ DE BC 2 Bài 11. Cho tam giác ABC. Vẽ các đường tròn (C; AB) và (A; BC). Chúng cắt nhau tại D ( B và D ở hai bên đường thẳng AC). Nối B với D. Chứng minh : a. ABC CDA b. ABD CDB c. AB//CD d. AD//BC Bài 12. Cho AC cắt BD tại trung I điểm mỗi đoạn, chứng minh : a. IAB ICD b. CAD ACB c. ABD CDB Bài 13. Cho góc xOy. Trên tia Ox lấy M, N. Trên tia Oy lấy P, Q sao cho OM = OP, PQ = MN. Chứng minh : a) OPN OMQ b) MPN PMQ c) Gọi I là giao điểm của MQ và PN. 1/Chứng minh IMN IPQ 2/Chứng minh OI là tia phân giác của góc xOy 3/OI là tia đường trung trực của MP, 4/MP//NQ Bài 14: Cho góc xOy; vẽ tia phân giác Ot của góc xOy. Trên tia Ot lấy điểm M bất kỳ; trên các tia Ox và Oy lần lượt lấy các điểm A và B sao cho OA = OB gọi H là giao điểm của AB và Ot. Chứng minh: =============================================================== 5
6. Bµi d¹y Båi d­ìng §¹i sè líp 7. 1/MA = MB 2/OM là đường trung trực của AB. 3/Cho biết AB = 6cm; OA = 5 cm. Tính OH? Bài 15 : Cho ABC vuông tại A. Từ một điểm K bất kỳ thuộc cạnh BC vẽ KH  AC. Trên tia đối của tia HK lấy điểm I sao cho HI = HK. Chứng minh : 1/AB // HK 2/ AKI cân 3/B· AK ·AIK 4/ AIC = AKC Bài 16 : Cho ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Chứng minh: a) ADE cân b) ABD = ACE Bài 17: Cho tam giác ABC có góc B = 900, vẽ trung tuyến AM. Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh: a) ABM = ECM b) AC > CE. c) góc BAM > góc MAC d) BE //AC e) EC  BC Bài18 : Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh AB lấy điểm D, trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AD = AE. Gọi M là giao điểm của BE và CD. Chứng minh: a) BE = CD. b) BMD = CME c)AM là tia phân giác của góc BAC. ˆ ˆ 0 Bài 19: Cho ABC có B C 60 , phân giác AD. Trên AD lấy điểm O. Trên tia đối của tia AC lấy điểm M sao cho góc ABM = góc ABO. Trên tia đối của tia AB lấy một điểm N sao cho góc ACN = góc ACO. Chứng minh rằng: a/ AM = AN b/ MON là tam giác đều Bài 20: Cho tam giác ABC có  B = 800 ; C =400 . Tia phân giác của góc A cắt bc ở D. a/ Tính góc BAC , góc ADC. b/ Gọi E là mọt điểm trên cạnh Ac sao cho AE = AB. Chứng minh : ▲ABD = ▲AED c/ Tia phân giác của góc B cắt AC tại I . Chứng minh BI // DE Bài 21: Cho tam giác ABC ( AB < AC) có AM là phân giác của góc A.(M thuộc BC).Trên AC lấy D sao cho AD = AB. a. Chứng minh: BM = MD b. Gọi K là giao điểm của AB và DM .Chứng minh: DAK = BAC c. Chứng minh : AKC cân d. So sánh : BM và CM. *Bài 22: Cho ABC cân tại A, cạnh đáy nhỏ hơn cạnh bên. Đường trung trực của AC cắt đường thẳng BC tạiM. Trên tia đói của tia AM lấy điểm N sao cho AN = BM a/ Chứng minh rằng góc AMC = góc BAC b/ Chứng minh rằng CM = CN c/ Muốn cho CM  CN thì tam giác cân ABC cho trước phải có thêm điều kiện gì? HD:c/ Ta có CM = CN ,để CM  CN thì tam giác CMN vuông cân tại C. Suy ra góc M = 450 .Tam giác ACM cân tại M nên đường cao xuất phát từ M (MK)cũng là đường phân giác. =============================================================== 6
7. Bµi d¹y Båi d­ìng §¹i sè líp 7. Nên góc CMK = 450 : 2 = 27,50.mà tam giác CMK vuông tại K suy ra góc KCM = 900-27,50=62,50 . Vậy tam giác cân ABC phải có góc ở đáy = 62,50 Bài 23:Tam giác ABC có AB > AC. Từ trung điểm M của BC vẽ một đường thẳng vuông góc với tia phân giác của góc A, cắt tia phân giác tại H, cắt AB, AC lầm lượt tại E và F. Chứng minh rằng: a/ BE = CF AB AC AB AC AE BE b/ 2 ; 2 ACˆ B Bˆ BMˆ E c/ 2 Bài 24: Cho ABC cân tại A = 1080. Gọi O là một điểm nằm trên tia phân giác của góc C sao cho góc CBO = 1200. Vẽ tam giác đều BOM (M và A cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ BO). Chứng minh rằng: a/ Ba điểm C, A, M thẳng hàng b/ Tam giác AOB cân Bµi 25.Cho tam gi¸c ®Òu AOB, trªn tia ®èi cña tia OA, OB lÊy theo thø tù c¸c ®iÓm C vµ D sao cho OC = OD.Tõ B kÎ BM vu«ng gãc víi AC, CN vu«ng gãc víi BD. Gäi P lµ trung ®iÓm cña BC.Chøng minh: a.Tam gi¸c COD lµ tam gi¸c ®Òu b.AD = BC c.Tam gi¸c MNP lµ tam gi¸c ®Òu Bµi 26. Cho tam gi¸c c©n ABC, AB = AC, ®-êng cao AH. KÎ HE vu«ng gãc víi AC. Gäi O lµ trung ®iÓm cña EH, I lµ trung ®iÓm cña EC. Chøng minh: 1/IO vu«ng gãc v¬i AH 2/AO vu«ng gãc víi BE Bµi 27.Cho tam gi¸c nhän ABC. VÒ phÝa ngoµi cña tam gi¸c vÏ c¸c tam gi¸c vu«ng c©n ABE vµ ACF ë B vµ C.Trªn tia ®èi cña tia AH lÊy ®iÓm I sao cho AI = BC. Chøng minh: 1/Tam gi¸c ABI b»ng tam gi¸c BEC 2/BI = CE vµ BI vu«ng gãc víi CE. 3/Ba ®-êng th¼ng AH, CE, BF c¾t nhau t¹i mét ®iÓm. Bài 28. Cho tam giác ABC vuông ở C có Aµ 600 . Tia phân giác của góc BAC cắt BC ở E. Kẻ EK  AB, BD  AE . Chứng minh : 1/AC = AK và AE vuông góc với CK 2/KA = KB 3/EB > AC 4/AC, BD, KE cùng đi qua một điểm Bài 29. Cho tam giác DEF cân tại D có DE = DF = 5cm, EF = 8cm. M, N lần lượt là trung điểm DF và DE. Kẻ DH  EF . 1/Chứng minh EM = FN và D· EM D· FN 2/Giao điểm của EM và FN là K. Chứng minh KE = KF 3/Chứng minh DK là phân giác của góc EDF 4/Chứng minh EM, FN, AH đồng quy 5/Tính AH Bài30. Cho góc vuông xOy, điểm A thộc tia Ox, B thuộc Oy. Đường trung trực của OA cắt Ox tại D, đường trung trực của OB cắt Oy ở E. Gọi C là giao điểm của hai đường trung trực đó. Chứng minh : =============================================================== 7
8. Bµi d¹y Båi d­ìng §¹i sè líp 7. 1/CE = OD 2/CE vuông góc với CD 3/CA = CB 4/CA//DE 5/A, B, C thẳng hàng Bài 31. Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường phân giác BE. Kẻ EH vuông góc với BC. Gọi K là giao điểm của AB và HE. Chứng minh : a. ABE HBE b. BE là đường trung trực của AH c. EK = EC d. AE < EC e. BE  KC f. Cho AB = 3cm, BC = 5cm. Tính KC Bài 32. Cho ABC có Aµ 1200 . Các phân giác AD và CE gặp nhau ở O. Đường thẳng chứa tia phân giác ngoài tại đỉnh B của tam giác ABC cắt đường thẳng AC tại F. Chứng minh : a. BO  BF b. B· DF A· DF c. Ba điểm D, E, F thẳng hàng Bài 33. Cho tam giác ABC cân tại A. trên hai cạnh AB, AC và về phía ngoài tam giác vẽ các tam giác đều ADB, AEC 1/Chứng minh BE =CD 2/ Kẻ phân giác AH của tam giác cân. Chứng minh BE, CD, AH đồng quy · Bài 34. Cho xOy nhọn. Trên tia Ox lấy điểm A và trên tia Oy lấy B sao cho OA = OB. Kẻ đường thẳng vuông góc với Ox tại A cắt Oy tại D. Kẻ đường thẳng vuông góc với Oy tại B cắt Ox tại C. Giao điểm của AD và BC là E. Nối CE, CD 1/Chứng minh OE là phân giác của góc xOy 2/Chứng minh tam giác ECD cân 3/Tia OE cắt CD tại H. Chứng minh Bài 35. Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ AH  BC . Kẻ HP vuông góc với AB và kéo dài để có PE = PH. Kẻ HQ vuông góc với AC và kéo dài để có QF = QH 1/Chứng minh APE APH, AQH AQF 2/Chứng minh E, A, F thẳng hàng và A là trung điểm của EF 3/Chứng minh BE//CF 4/Cho AH = 3cm, AC = 4cm. Tính HC, EF Bài 36. Cho ABC caân taïi A (µA 900 ), veõ BD  AC vaø CE  AB. Goïi H laø giao ñieåm cuûa BD vaø CE. 1/Chöùng minh : ABD = ACE 2/Chöùng minh AED caân 3/Chöùng minh AH laø ñöôøng trung tröïc cuûa ED 4/Treân tia ñoái cuûa tia DB laáy K sao cho DK = DB. Chöùng minh E· CB D· KC Bài 37. Cho đoạn thẳng BC. I là trung điểm BC. Trên đường trung trực của BC lấy điểm A khác I 1/Chứng minh AIB AIC 2/Kẻ IH  AB; IK  AC . Chứng minh tam giác AHK là tam giác cân 3/Chứng minh HK//BC Bài 38. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BA lấy D, trên tia đối của tia CA lấy E sao cho BD = CE. Vẽ DH và EK cùng vuông góc với BC. Chứng minh : 1/HB = CK 2/A· HB A· KC 3/HK//DE 4/ AHD AKE 5/ I là giao điểm của DC và EB, chứng minh AI  DE Bài 39.Cho tam giác ABC cân tại A (Aµ 900 ). Kẻ BD  AC ,CE  AB .BD và CE cắt nhau tại I. =============================================================== 8
9. Bµi d¹y Båi d­ìng §¹i sè líp 7. 1/Chứng minh BDC CEB · · 2/So sánh IBE vµ ICD 3/Tam giác IBC là tam giác gì ? Vì sao ? 4/Chứng minh AI  BC 5/Chứng minh ED//BC 6/Cho BC = 5cm, CD = 3cm,. Tính EC, AB Bài 40. Cho tam giác cân ABC có Aµ 1200 ; đường phân giác AD ( D thuộc BC ). Vẽ DE  AB; DF  AC .Chứng minh: 1/ Tam giác DEF đều 2/Từ C kẻ đường thẳng song song với AD cắt AB tại M. Chứng minh tam giác AMC đều 3/Chứng minh MC  BC 4/Tính DF và BD biết AD = 4cm Bài 41. Cho góc nhọn xOy. Điểm H nằm trên tia phân giác của góc xOy. Từ H dựng các đường vuông góc HA,HB xuống hai cạnh Ox và Oy (A thuộc Ox và B thuộc Oy). a) Chứng minh tam giác HAB là tam giác cân b) Gọi D là hình chiếu của điểm A trên Oy, C là giao điểm của AD với OH. Chứng minh BC  Ox. c) Khi góc xOy bằng 600, chứng minh OA = 2OD. Bài 42. Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH. Biết AB = 5 cm, BC = 6 cm. a) Tính độ dài các đoạn thẳng BH, AH? b) Chứng minh hai góc ABG và ACG bằng nhau c) *Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Chứng minh rằng ba điểm A, G, H thẳng hàng Bài 43:Cho ∆ABC vuông ở C, có Aµ = 600 , tia phân giác của góc BAC cắt BC ở E, kẻ EK vuông góc với AB. (K AB), kẻ BD vuông góc AE (D AE). Chứng minh: a) AK = KB. b) AD = BC. Bài 44: Cho ∆ABC có AC > AB, trung tuyến AM. Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA . Nối C với D a. Chứng minh A· DC > D· AC . Từ đó suy ra: M· AB > M· AC b. Kẻ đường cao AH. Gọi E là một điểm nằm giữa A và H. So sánh HC và HB; EC và EB. Bài 45: Cho ∆ABC cân tại A và hai đường trung tuyến BM, CN cắt nhau tại K. a) Chứng minh ∆BNC = ∆CMB. b) Chứng minh ∆BKC cân tại K. c) *Chứng minh BC < 4.KM Bài 46: Cho ∆ABC ( = 900) ; BD là phân giác của góc B (D AC). Trên tia BC lấy điểm E sao cho BA = BE. a) Chứng minh DE  BE. b) Chứng minh BD là đường trung trực của AE. =============================================================== 9
10. Bµi d¹y Båi d­ìng §¹i sè líp 7. c) Kẻ AH  BC. So sánh EH và EC. Bài 47: Cho ∆ABC vuông tại A có BD là phân giác, kẻ DE  BC ( E BC ). Gọi F là giao điểm của AB và DE. Chứng minh rằng: a) BD là trung trực của AE. b) DF = DC c) *AD < DC; d) AE // FC. Bài 48: Cho tam giác nhọn ABC có AB > AC, vẽ đường cao AH. a. Chứng minh HB > HC b. So sánh góc BAH và góc CAH. c. Vẽ M, N sao cho AB, AC lần lượt là trung trực của các đoạn thẳng HM, HN. Chứng minh tam giác MAN là tam giác cân. Bài 49 : Cho tam giác ABC vuông tại A, góc B có số đo bằng 600 . Vẽ AH vuông góc với BC ,( H BC) . a. So sánh AB và AC; BH và HC; b. Lấy điểm D thuộc tia đối của tia HA sao cho HD = HA. Chứng minh rằng hai tam giác AHC và DHC bằng nhau. c. Tính số đo của góc BDC. Bài 50 : Cho góc nhọn xOy, trên 2 cạnh Ox, Oy lần lượt lấy 2 điểm A và B sao cho OA = OB, tia phân giác của góc xOy cắt AB tại I. a) Chứng minh OI  AB . b) Gọi D là hình chiếu của điểm A trên Oy, C là giao điểm của AD với OI. Chứng minh BC  Ox . Bài51. Cho tam giác ABC cân tại A, vẽ trung tuyến AM. Từ M kẻ ME vuông g với AB tại E, kẻ MF vuông góc với AC tại F. a. Chứng minh ∆CFM =∆ BEM. b. Chứng minh AM là trung trực của EF. c. Từ B kẻ đường thẳng vuông góc với AB tại B, từ C kẻ đường thẳng vuông góc với AC tại C, hai đường thẳng này cắt nhau tại D. Chứng minh rằng ba điểm A, M, D thẳng hàng. Bài 52: Cho tam giác ABC có Aµ = 900 , AB =8cm , AC =6cm . a. Tính BC . b. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho 2 AEcm = , trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD AB = . Chứng minh ∆BEC = ∆DEC . c. Chứng minh DE đi qua trung điểm cạnh BC . =============================================================== 10
11. Bµi d¹y Båi d­ìng §¹i sè líp 7. §Ò sè 1: ®Ò thi häc sinh giái huyÖn M«n To¸n Líp 7 (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bµi 1. T×m gi¸ trÞ n nguyªn d­¬ng: 1 a) .16n 2n ; b) 27 < 3n < 243 8 Bµi 2. Thùc hiÖn phÐp tÝnh: 1 1 1 1 1 3 5 7 ... 49 ( ... ) 4.9 9.14 14.19 44.49 89 Bµi 3. a) T×m x biÕt: 2x 3 x 2 b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A = x 2006 2007 x Khi x thay ®æi Bµi 4. HiÖn nay hai kim ®ång hå chØ 10 giê. Sau Ýt nhÊt bao l©u th× 2 kim ®ång hå n»m ®èi diÖn nhau trªn mét ®­êng th¼ng. Bµi 5. Cho tam gi¸c vu«ng ABC ( A = 1v), ®­êng cao AH, trung tuyÕn AM. Trªn tia ®èi tia MA lÊy ®iÓm D sao cho DM = MA. Trªn tia ®èi tia CD lÊy ®iÓm I sao cho CI = CA, qua I vÏ ®­êng th¼ng song song víi AC c¾t ®­êng th¼ng AH t¹i E. Chøng minh: AE = BC §Ò sè 2: ®Ò thi häc sinh giái huyÖn M«n To¸n Líp 7 (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bài 1:(4 điểm) a) Thực hiện phép tính: 212.35 46.92 510.73 255.492 A 6 3 22.3 84.35 125.7 59.143 b) Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên dương n thì : 3n 2 2n 2 3n 2n chia hết cho 10 =============================================================== 11
12. Bµi d¹y Båi d­ìng §¹i sè líp 7. Bài 2:(4 điểm) Tìm x biết: 1 4 2 a. x 3,2 3 5 5 x 1 x 11 b. x 7 x 7 0 Bài 3: (4 điểm) 2 3 1 a) Số A được chia thành 3 số tỉ lệ theo : : . Biết rằng tổng các bình phương của ba 5 4 6 số đó bằng 24309. Tìm số A. a c a2 c2 a b) Cho . Chứng minh rằng: c b b2 c2 b Bài 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh rằng: a) AC = EB và AC // BE b) Gọi I là một điểm trên AC ; K là một điểm trên EB sao cho AI = EK . Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng c) Từ E kẻ EH  BC H BC . Biết H· BE = 50o ; M· EB =25o . Tính H· EM và B· ME Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A có Aµ 200 , vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam giác ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh: a) Tia AD là phân giác của góc BAC b) AM = BC Hết §¸p ¸n ®Ò 1to¸n 7 Bµi 1. T×m gi¸ trÞ n nguyªn d­¬ng: (4 ®iÓm mçi c©u 2 ®iÓm) 1 a) .16n 2n ; => 24n-3 = 2n => 4n – 3 = n => n = 1 8 b) 27 33 n = 4 Bµi 2. Thùc hiÖn phÐp tÝnh: (4 ®iÓm) 1 1 1 1 1 3 5 7 ... 49 ( ... ) 4.9 9.14 14.19 44.49 89 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 (1 3 5 7 ... 49) = ( ... ). 5 4 9 9 14 14 19 44 49 12 1 1 1 2 (12.50 25) 5.9.7.89 9 = ( ). 5 4 49 89 5.4.7.7.89 28 Bµi 3. (4 ®iÓm mçi c©u 2 ®iÓm) =============================================================== 12
13. Bµi d¹y Båi d­ìng §¹i sè líp 7. a) T×m x biÕt: 2x 3 x 2 Ta cã: x + 2 0 => x - 2. 3 + NÕu x - th× 2x 3 x 2 => 2x + 3 = x + 2 => x = - 1 (Tho¶ m·n) 2 3 5 + NÕu - 2 x - 2x - 3 = x + 2 => x = - (Tho¶ m·n) 2 3 + NÕu - 2 > x Kh«ng cã gi¸ trÞ cña x tho¶ m·n b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A = x 2006 2007 x Khi x thay ®æi + NÕu x < 2006 th×: A = - x + 2006 + 2007 – x = - 2x + 4013 Khi ®ã: - x > -2006 => - 2x + 4013 > – 4012 + 4013 = 1 => A > 1 + NÕu 2006 x 2007 th×: A = x – 2006 + 2007 – x = 1 + NÕu x > 2007 th× A = x - 2006 - 2007 + x = 2x – 4013 Do x > 2007 => 2x – 4013 > 4014 – 4013 = 1 => A > 1. VËy A ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ 1 khi 2006 x 2007 Bµi 4. HiÖn nay hai kim ®ång hå chØ 10 giê. Sau Ýt nhÊt bao l©u th× 2 kim ®ång hå n»m ®èi diÖn nhau trªn mét ®­êng th¼ng. (4 ®iÓm mçi) Gäi x, y lµ sè vßng quay cña kim phót vµ kim giê khi 10giê ®Õn lóc 2 kim ®èi nhau trªn mét ®­êng th¼ng, ta cã: 1 x – y = (øng víi tõ sè 12 ®Õn sè 4 trªn ®«ng hå) 3 vµ x : y = 12 (Do kim phót quay nhanh gÊp 12 lÇn kim giê) x 12 x y x y 1 1 Do ®ã: :11 y 1 12 1 11 3 33 12 4  x = (vòng) x (giê) 33 11 VËy thêi gian Ýt nhÊt ®Ó 2 kim ®ång hå tõ khi 10 giê ®Õn lóc n»m ®èi diÖn nhau 4 trªn mét ®­êng th¼ng lµ giê 11 Bµi 5. Cho tam gi¸c vu«ng ABC ( A = 1v), ®­êng cao AH, trung tuyÕn AM. Trªn tia ®èi tia MA lÊy ®iÓm D sao cho DM = MA. Trªn tia ®èi tia CD lÊy ®iÓm I sao cho =============================================================== 13
14. Bµi d¹y Båi d­ìng §¹i sè líp 7. CI = CA, qua I vÏ ®­êng th¼ng song song víi AC c¾t ®­êng th¼ng AH t¹i E. Chøng minh: AE = BC (4 ®iÓm mçi) §­êng th¼ng AB c¾t EI t¹i F E ABM = DCM v×: F AM = DM (gt), MB = MC (gt), ·AMB = DMC (®®) => BAM = CDM I =>FB // ID => ID  AC A Vµ FAI = CIA (so le trong) (1) IE // AC (gt) => FIA = CAI (so le trong) (2) Tõ (1) vµ (2) => CAI = FIA (AI chung) B H M => IC = AC = AF (3) D vµ E FA = 1v (4) MÆt kh¸c EAF = BAH (®®), BAH = ACB ( cïng phô ABC) => EAF = ACB (5) Tõ (3), (4) vµ (5) => AFE = CAB =>AE = BC §Ò sè 2: ®Ò thi häc sinh giái huyÖn M«n To¸n Líp 7 (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bài 1:(4 điểm) a) Thực hiện phép tính: 212.35 46.92 510.73 255.492 A 6 3 22.3 84.35 125.7 59.143 b) Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên dương n thì : 3n 2 2n 2 3n 2n chia hết cho 10 =============================================================== 14
15. Bµi d¹y Båi d­ìng §¹i sè líp 7. Bài 2:(4 điểm) Tìm x biết: 1 4 2 a. x 3,2 3 5 5 x 1 x 11 b. x 7 x 7 0 Bài 3: (4 điểm) 2 3 1 c) Số A được chia thành 3 số tỉ lệ theo : : . Biết rằng tổng các bình phương của ba 5 4 6 số đó bằng 24309. Tìm số A. a c a2 c2 a d) Cho . Chứng minh rằng: c b b2 c2 b Bài 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh rằng: a) AC = EB và AC // BE b) Gọi I là một điểm trên AC ; K là một điểm trên EB sao cho AI = EK . Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng c) Từ E kẻ EH  BC H BC . Biết H· BE = 50o ; M· EB =25o . Tính H· EM và B· ME Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A có Aµ 200 , vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam giác ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh: c) Tia AD là phân giác của góc BAC d) AM = BC Hết §¸p ¸n ®Ò 2 to¸n 7 Bài 1:(4 điểm): a) (2 điểm) =============================================================== 15
16. Bµi d¹y Båi d­ìng §¹i sè líp 7. 10 212.35 46.92 510.73 255.492 212.35 212.34 510.73 5 .74 A 6 3 12 6 12 5 9 3 9 3 3 22.3 84.35 125.7 59.143 2 .3 2 .3 5 .7 5 .2 .7 212.34. 3 1 510.73. 1 7 212.35. 3 1 59.73. 1 23 212.34.2 510.73. 6 212.35.4 59.73.9 1 10 7 6 3 2 b) (2 điểm) 3n 2 2n 2 3n 2n = 3n 2 3n 2n 2 2n =3n (32 1) 2n (22 1) =3n 10 2n 5 3n 10 2n 1 10 = 10( 3n -2n) Vậy 3n 2 2n 2 3n 2n  10 với mọi n là số nguyên dương. Bài 2:(4 điểm) a) (2 điểm) 1 4 2 1 4 16 2 x 3,2 x 3 5 5 3 5 5 5 1 4 14 x 3 5 5 1 1 x 2 x 2 3 3 x 1 2 3 x 2 1 7 3 3 x 2 1 5 3 3 b) (2 điểm) x 7 x 1 x 7 x 11 0 x 1 10 x 7 1 x 7 0 =============================================================== 16
17. Bµi d¹y Båi d­ìng §¹i sè líp 7. x 7 x 1 1 x 7 10 0 x 1 x 7 0 1 (x 7)10 0 x 7 0 x 7 10 (x 7) 1 x 8 Bài 3: (4 điểm) a) (2,5 điểm) Gọi a, b, c là ba số được chia ra từ số A. 2 3 1 Theo đề bài ta có: a : b : c = : : (1) 5 4 6 và a2 +b2 +c2 = 24309 (2) a b c 2 3 k Từ (1) = k a k;b k;c 2 3 1 5 4 6 5 4 6 4 9 1 Do đó (2) k 2 ( ) 24309 25 16 36 k = 180 và k = 180 + Với k =180, ta được: a = 72; b = 135; c = 30. Khi đó ta có số A = a + b + c = 237. + Với k = 180, ta được: a = 72 ; b = 135; c = 30 Khi đó ta có só A = 72 +( 135) + ( 30 ) = 237. b) (1,5 điểm) a c Từ suy ra c2 a.b c b a2 c2 a2 a.b khi đó b2 c2 b2 a.b a(a b) a = b(a b) b Bài 4: (4 điểm) =============================================================== 17
18. Bµi d¹y Båi d­ìng §¹i sè líp 7. A a/ (1điểm) Xét AMC và EMB có : AM = EM (gt ) I ·AMC = E· MB (đối đỉnh ) BM = MC (gt ) B M C Nên : AMC = EMB (c.g.c )H 0,5 điểm AC = EB Vì AMC = EMB M· AC = M· EB K (2 góc có vị trí so le trong được tạo bởi đường thẳng AC và EB cắt đường thẳng AE ) E Suy ra AC // BE . 0,5 điểm b/ (1 điểm ) Xét AMI và EMK có : AM = EM (gt ) M· AI = M· EK ( vì AMC EMB ) AI = EK (gt ) Nên AMI EMK ( c.g.c ) Suy ra ·AMI = E· MK Mà ·AMI + I·ME = 180o ( tính chất hai góc kề bù ) E· MK + I·ME = 180o Ba điểm I;M;K thẳng hàng c/ (1,5 điểm ) Trong tam giác vuông BHE ( Hµ = 90o ) có H· BE = 50o H· BE = 90o - H· BE = 90o - 50o =40o H· EM = H· EB - M· EB = 40o - 25o = 15o B· ME là góc ngoài tại đỉnh M của HEM A Nên B· ME = H· EM + M· HE = 15o + 90o = 105o ( định lý góc ngoài của tam giác ) 200 Bài 5: (4 điểm) M a) Chứng minh ADB = ADC (c.c.c) suy ra D· AB D· AC D Do đó D· AB 200 : 2 100 b) ABC cân tại A, mà µA 200 (gt) nên ·ABC (1800 200 ) : 2 800 · 0 ABC đều nên DBC 60 C Tia BD nằm giữa hai tia BA và BC suy ra B ·ABD 800 600 200 . =============================================================== 18
19. Bµi d¹y Båi d­ìng §¹i sè líp 7. Tia BM là phân giác của góc ABD nên ·ABM 100 Xét tam giác ABM và BAD có: AB cạnh chung ; B· AM ·ABD 200 ; ·ABM D· AB 100 Vậy: ABM = BAD (g.c.g) suy ra AM = BD, mà BD = BC (gt) nên AM = BC §Ò sè 3: ®Ò thi häc sinh giái M«n To¸n Líp 7 (Thêi gian lµm bµi 120 phót) C©u 1: T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn a biÕt a 4 9 9 C©u 2: T×m ph©n sè cã tö lµ 7 biÕt nã lín h¬n vµ nhá h¬n 10 11 C©u 3. Cho 2 ®a thøc P x = x 2 + 2mx + m 2 vµ Q x = x 2 + (2m+1)x + m 2 T×m m biÕt P (1) = Q (-1) C©u 4: T×m c¸c cÆp sè (x; y) biÕt: x y a / ; xy=84 3 7 1+3y 1+5y 1+7y b/ 12 5x 4x C©u 5: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt hoÆc lín nhÊt cña c¸c biÓu thøc sau : A = x 1 +5 x2 15 B = x2 3 C©u 6: Cho tam gi¸c ABC cã ¢ < 900. VÏ ra phÝa ngoµi tam gi¸c ®ã hai ®o¹n th¼ng AD vu«ng gãc vµ b»ng AB; AE vu«ng gãc vµ b»ng AC. a. Chøng minh: DC = BE vµ DC  BE b. Gäi N lµ trung ®iÓm cña DE. Trªn tia ®èi cña tia NA lÊy M sao cho NA = NM. Chøng minh: AB = ME vµ ABC = EMA c. Chøng minh: MA  BC =============================================================== 19
20. Bµi d¹y Båi d­ìng §¹i sè líp 7. §¸p ¸n ®Ò 3 to¸n 7 C©u 1: T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn a biÕt a 4 0 a 4 => a = 0; 1; 2; 3 ; 4 * a = 0 => a = 0 * a = 1 => a = 1 hoÆc a = - 1 * a = 2 => a = 2 hoÆc a = - 2 * a = 3 => a = 3 hoÆc a = - 3 * a = 4 => a = 4 hoÆc a = - 4 9 9 C©u 2: T×m ph©n sè cã tö lµ 7 biÕt nã lín h¬n vµ nhá h¬n 10 11 Gäi mÉu ph©n sè cÇn t×m lµ x Ta cã: 9 7 9 63 63 63 => => -77 9x = -72 10 x 11 70 9x 77 => x = 8 7 VËy ph©n sè cÇn t×m lµ 8 C©u 3. Cho 2 ®a thøc P x = x 2 + 2mx + m 2 vµ Q x = x 2 + (2m+1)x + m 2 T×m m biÕt P (1) = Q (-1) P(1) = 12 + 2m.1 + m2 = m2 + 2m + 1 Q(-1) = 1 – 2m – 1 +m2 = m2 – 2m §Ó P(1) = Q(-1) th× m2 + 2m + 1 = m2 – 2m 4m = -1 m = -1/4 C©u 4: T×m c¸c cÆp sè (x; y) biÕt: x y x2 y2 xy 84 a / ; xy=84 => 4 3 7 9 49 3.7 21 => x2 = 4.49 = 196 => x = 14 => y2 = 4.4 = 16 => x = 4 Do x,y cïng dÊu nªn: • x = 6; y = 14 =============================================================== 20