Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 8

Nội dung text: Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 8

1. 1. Chuyªn ®Ò : §a thøc Baøi 1: Tính giaù trò cuûa bieåu thöùc: a. A = x4 17x3 17x2 17x 20 taïi x = 16. b. B = x5 15x4 16x3 29x2 13x taïi x = 14. c. C = x14 10x13 10x12 10x11 ... 10x2 10x 10 taïi x = 9 d. D = x15 8x14 8x13 8x12 ... 8x2 8x 5 taïi x = 7. Baøi 2: Tính giaù trò cuûa bieåu thöùc: 1 1 1 650 4 4 a. M = 2 . .3 315 651 105 651 315.651 105 1 3 546 1 4 b. N = 2 . . 547 211 547 211 547.211 Baøi 3: Tính giaù trò cuûa bieåu thöùc: a. A = x3 x2 y2 y2 x3 y3 vôùi x = 2; y 1. b. M.N vôùi x 2 .Bieát raèng:M = 2x2 3x 5 ; N = x2 x 3 . Baøi 4: Tính giaù trò cuûa ña thöùc, bieát x = y + 5: a. x x 2 y y 2 2xy 65 b. x2 y y 2x 75 Baøi 5: Tính giaù trò cuûa ña thöùc: x 1 y y xy 1 x2 y bieát x+ y = -p, xy = q Baøi 6: Chöùng minh ñaúng thöùc: a. x a x b x b x c x c x a ab bc ca x2 ; bieát raèng 2x = a + b + c b. 2bc b2 c2 a2 4p p a ; bieát raèng a + b + c = 2p Baøi 7: a. Soá a goàm 31 chöõ soá 1, soá b goàm 38 chöõ soá 1. Chöùng minh raèng ab – 2 chia heát cho 3. b. Cho 2 soá töï nhieân a vaø b trong ñoù soá a goàm 52 soá 1, soá b goàm 104 soá 1. Hoûi tích ab coù chia heát cho 3 khoâng? Vì sao? Baøi 8: Cho a + b + c = 0. Chöùng minh raèng M = N = P vôùi: M a a b a c ; N b b c b a ; P c c a c b Baøi 9: Cho bieåu thöùc: M = x a x b x b x c x c x a x2 . 1 1 1 Tính M theo a, b, c, bieát raèng x a b c . 2 2 2 Baøi 10: Cho caùc bieåu thöùc: A = 15x – 23y ; B = 2x + 3y . Chöùng minh raèng neáu x, y laø caùc soá nguyeân vaø A chia heát cho 13 thì B chia heát cho 13. Ngöôïc laïi neáu B chia heát cho 13 thì A cuõng chia heát cho 13. Baøi 11: Cho caùc bieåu thöùc: A = 5x + 2y ; B = 9x + 7y a. Ruùt goïn bieåu thöùc 7A – 2B. 1
2. b. Chöùng minh raèng: Neáu caùc soá nguyeân x, y thoûa maõn 5x + 2y chia heát cho 17 thì 9x + 7y cuõng chia heát cho 17. Baøi 12: Chöùng minh raèng: a. 817 279 913 chia heát cho 405. b. 122n 1 11n 2 chia heát cho 133. n n 1 Baøi 13: Cho daõy soá 1, 3, 6 , 10, 15, , , 2 Chöùng minh raèng toång hai soá haïng lieân tieáp cuûa daõy bao giôø cuõng laø soá chính phöông. 2. Chuyªn ®Ò: BiÓn ®æi biÓu thøc nguyªn I. Mét sè h»ng ®¼ng thøc c¬ b¶n 1. (a b)2 = a2 2ab + b2 ; (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca ; 2 (a1 + a2 + ...+ an ) = 2 2 2 = a1 a2 ... an 2(a1a2 a1a3 ... a1an a2a3 ... a2an ... an 1an ); 2. (a b)3 = a3 3a2b + 3ab2 b3 = a3 b3 3ab(a b); (a b)4 = a4 4a3b + 6a2b2 4ab3 + b4 ; 3. a2 – b2 = (a – b)(a + b) ; a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) ; an – bn = (a – b)(an – 1 + an – 2b + an – 3b2 + + abn – 2 + bn – 1) ; 4. a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) a5 + b5 = (a + b)(a4 – a3b + a2b2 – ab3 + b5) ; a2k + 1 + b2k + 1 = (a + b)(a2k – a2k – 1b + a2k – 2b2 – + a2b2k – 2 – ab2k – 1 + b2k) ; II. B¶ng c¸c hÖ sè trong khai triÓn (a + b)n – Tam gi¸c Pascal §Ønh 1 Dßng 1 (n = 1) 1 1 Dßng 2 (n = 2) 1 2 1 Dßng 3 (n = 3) 1 3 3 1 Dßng 4 (n = 4) 1 4 6 4 1 Dßng 5 (n = 5) 1 5 10 10 5 1 Trong tam gi¸c nµy, hai c¹nh bªn gåm c¸c sè 1 ; dßng k + 1 ®­îc thµnh lËp tõ dßng k (k ≥ 1), ch¼ng h¹n ë dßng 2 ta cã 2 = 1 + 1, ë dßng 3 ta cã 3 = 2 + 1, 3 = 1 + 2, ë dßng 4 ta cã 4 = 1 + 3, 6 = 3 + 3, 4 = 3 + 1, Khai triÓn (x + y)n thµnh tæng th× c¸c hÖ sè cña c¸c h¹ng tö lµ c¸c sè trong dßng thø n cña b¶ng trªn. Ng­êi ta gäi b¶ng trªn lµ tam gi¸c Pascal, nã th­êng ®­îc sö dông khi n kh«ng qu¸ lín. Ch¼ng h¹n, víi n = 4 th× : (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 vµ víi n = 5 th× : (a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 10ab4 + b5 2
3. II. C¸c vÝ dô VÝ dô 1. §¬n gi¶n biÓu thøc sau : A = (x + y + z)3 – (x + y – z)3 – (y + z – x)3 – (z + x – y)3. Lêi gi¶i A = [(x + y) + z]3 – [(x + y) – z]3 – [z – (x – y)]3 – [z + (x – y)]3 = [(x + y)3 + 3(x + y)2z + 3(x + y)z2 + z3] – [(x + y)3 – 3(x + y)2z + 3(x + y)z2 – z3] – [z3 – 3z2(x – y) + 3z(x – y)2 – (x – y)3] – [z3 + 3z2(x – y) + 3z(x – y)2 + (x – y)3] = 6(x + y)2z – 6z(x – y)2 = 24xyz VÝ dô 2. Cho x + y = a, xy = b (a2 ≥ 4b). TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau : a) x2 + y2 ; b) x3 + y3 ; c) x4 + y4 ; d) x5 + y5 Lêi gi¶i a) x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = a2 – 2b b) x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y) = a3 – 3ab c) x4 + y4 = (x2 + y2)2 – 2x2y2 = (a2 – 2b)2 – 2b2 = a4 – 4a2b + 2b2 d) (x2 + y2)(x3 + y3) = x5 + x2y3 + x3y2 + y5 = (x5 + y5) + x2y2(x + y) Hay : (a2 – 2b)(a3 – 3ab) = (x5 + y5) + ab2 x5 + y5 = a5 – 5a3b + 5ab2 Chó ý : a6 + b6 = (a2)3 + (b2)3 = (a3)2 + (b3)2 a7 + b7 = (a3 + b3)(a4 + b4) – a3b3(a + b) = (a2 + b2)(a5 + b5) – a2b2(a3 + b3) VÝ dô 3. Chøng minh c¸c h»ng ®¼ng thøc : a) a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) ; b) (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a) Lêi gi¶i a) a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b)3 + c3 – 3abc – 3a2b – 3ab2 = (a + b + c)[(a + b)2 – (a + b)c + c2] – 3ab(a + b + c) = (a + b + c) [(a + b)2 – (a + b)c + c2 – 3ab] = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) b) (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3 = [(a + b + c)3 – a3] – (b3 + c3) = (b + c)[(a + b + c)2 + (a + b + c)a + a2] – (b + c)(b2 – bc + c2) = (b + c)(3a2 + 3ab + 3bc + 3ca) = 3(b + c)[a(a + b) + c(a + b)] = 3(a + b)(b + c)(c + a) VÝ dô 4. Cho x + y + z = 0. Chøng minh r»ng : 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2) Lêi gi¶i V× x + y + z = 0 nªn x + y = –z (x + y)3 = –z3 Hay x3 + y3 + 3xy(x + y) = –z3 3xyz = x3 + y3 + z3 Do ®ã : 3xyz(x2 + y2 + z2) = (x3 + y3 + z3)(x2 + y2 + z2) = x5 + y5 + z5 + x3(y2 + z2) + y3(z2 + x2) + z3(x2 + y2) Mµ x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = z2 – 2xy (v× x + y = –z). T­¬ng tù : y2 + z2 = x2 – 2yz ; z2 + x2 = y2 – 2zx. V× vËy : 3xyz(x2 + y2 + z2) = x5 + y5 + z5 + x3(x2 – 2yz) + y3(y2 – 2zx) + z3(z3 – 2xy) = 2(x5 + y5 + z5) – 2xyz(x2 + y2 + z2) Suy ra : 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2) (®pcm) 3
4. Bµi tËp: 1. Cho a + b + c = 0 vµ a2 + b2 + c2 = 14. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : A = a4 + b4 + c4. 2. Cho x + y + z = 0 vµ xy + yz + zx = 0. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : B = (x – 1)2007 + y2008 + (z + 1)2009. 3. Cho a2 – b2 = 4c2. Chøng minh r»ng : (5a – 3b + 8c)(5a – 3b – 8c) = (3a – 5b)2. 4. Chøng minh r»ng nÕu: 5. (x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2 = (x + y – 2z)2 + (y + z – 2x)2 + (z + x – 2y)2 th× x = y = z. 6. a) Chøng minh r»ng nÕu (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax + by)2 vµ x, y kh¸c 0 th× a b = . x y b) Chøng minh r»ng nÕu (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) = (ax + by + cz)2 a b c vµ x, y, z kh¸c 0 th× = = . x y z 7. Cho x + y + z = 0. Chøng minh r»ng : a) 5(x3 + y3 + z3)(x2 + y2 + z2) = 6(x5 + y5 + z5) ; b) x7 + y7 + z7 = 7xyz(x2y2 + y2z2 + z2x2) ; c) 10(x7 + y7 + z7) = 7(x2 + y2 + z2)(x5 + y5 + z5). 8. Chøng minh c¸c h»ng ®»ng thøc sau : a) (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2 = (a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2 ; b) x4 + y4 + (x + y)4 = 2(x2 + xy + y2)2. 9. Cho c¸c sè a, b, c, d tháa m·n a2 + b2 + (a + b)2 = c2 + d2 + (c + d)2. Chøng minh r»ng : a4 + b4 + (a + b)4 = c4 + d4 + (c + d)4 10. Cho a2 + b2 + c2 = a3 + b3 + c3 = 1. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : C = a2 + b9 + c1945. 11. Hai sè a, b lÇn l­ît tháa m·n c¸c hÖ thøc sau : a3 – 3a2 + 5a – 17 = 0 vµ b3 – 3b2 + 5b + 11 = 0. H·y tÝnh : D = a + b. 12. Cho a3 – 3ab2 = 19 vµ b3 – 3a2b = 98. H·y tÝnh : E = a2 + b2. 13. Cho x + y = a + b vµ x2 + y2 = a2 + b2. TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau : a) x3 + y3 ; b) x4 + y4 ; c) x5 + y5 ; d) x6 + y6 ; e) x7 + y7 ; f) x8 + y8 ; g) x2008 + y2008. 4
5. 3. Chuyªn ®Ò: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö I- Ph­¬ng ph¸p t¸ch mét h¹ng tö thµnh nhiÒu h¹ng tö kh¸c: Bµi 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö a , x 2 5 x 6 d , x 2 1 3 x 3 6 b , 3 x 2 8 x 4 e , x 2 3 x 1 8 c , x 2 8 x 7 f, x 2 5 x 2 4 g , 3 x 2 1 6 x 5 h , 8 x 2 3 0 x 7 i, 2 x 2 5 x 1 2 k , 6 x 2 7 x 2 0 Bµi 2: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö: 1, x3 5x 2 8x 4 2, x3 2x 3 3, x3 5x 2 8x 4 4, x3 7x 6 5, x3 9x 2 6x 16 6, 4x3 13x 2 9x 18 7, x3 4x 2 8x 8 8, x3 6x 2 6x 1 9, 6x3 x 2 486x 81 10, x3 7x 6 11, x3 3x 2 12, x3 5x 2 3x 9 13, x3 8x 2 17x 10 14, x3 3x 2 6x 4 15, x3 2x 4 16, 2x3 12x 2 17x 2 17, x3 x 2 4 18, x3 3x 2 3x 2 19, x3 9x 2 26x 24 20, 2x3 3x 2 3x 1 21, 3x3 14x 2 4x 3 22, x 4 2x3 x 2 x 1 (§a thøc ®· cho cã nhiÖm nguyªn hoÆc nghiÖm h÷u tØ) II- Ph­¬ng ph¸p thªm vµ bít cïng mét h¹ng tö 1) D¹ng 1: Thªm bít cïng mét h¹ng tö lµm xuÊt hiÖn h»ng ®¼ng thøc hiÖu cña hai b×nh ph­¬ng: A2 – B2 = (A – B)(A + B) Bµi 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö: 2 1, (1 x2 )2 4x(1 x2 ) 2, x2 8 36 3, x4 4 4, x4 64 5, 64x4 1 6, 81x4 4 7, 4x4 81 8, 64x4 y4 4 4 4 2 9, x 4y 10, x x 1 5
6. 2) D¹ng 2: Thªm bít cïng mét h¹ng tö lµm xuÊt hiÖn thõa sè chung Bµi 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö: 1, x7 x2 1 2, x7 x5 1 3, x5 x4 1 4, x5 x 1 5, x8 x7 1 6, x5 x4 1 7, x5 x 1 8, x10 x5 1 III- Ph­¬ng ph¸p ®æi biÕn Bµi 1:Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö 1, x(x 4)(x 6)(x 10) 128 2, (x 1)(x 2)(x 3)(x 4) 24 3, (x2 4x 8)2 3x(x2 4x 8) 2x2 4, (x2 x)2 4x2 4x 12 5, x2 2xy y2 2x 2y 15 6, (x a)(x 2a)(x 3a)(x 4a) a4 7, 6x4 11x2 3 8, (x2 x)2 3(x2 x) 2 9, x2 2xy y2 3x 3y 10 10, (x2 2x)2 9x2 18x 20 11, x2 4xy 4y2 2x 4y 35 12, (x 2)(x 4)(x 6)(x 8) 16 Bµi 2: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö 1, x 4 6 x 3 7 x 2 6 x 1 2, (x 2 y 2 z 2 )(x y z) 2 (xy yz zx) 2 IV- Ph­¬ng ph¸p xÐt gi¸ trÞ riªng Ph­¬ng ph¸p: Tr­íc hÕt ta x¸c ®Þnh d¹ng c¸c thõa sè chøa biÕn cña ®a thøc, råi g¸n cho c¸c biÕn c¸c gi¸ trÞ cô thÓ ®Ó x¸c ®Þnh thõa sè cßn l¹i. VÝ dô: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö: a, P = x2(y z) y2(z x) z2(x y) b, Q =a(b c a)2 b(c a b)2 c(a b c)2 (a b c) (b c a)(c a b) Gi¶i a, Gi¶ sö thay x bëi y th× P = y2 (y z) y2 (z y) 0 Nh­ vËy P chøa thõa sè x – y Ta l¹i thÊy nÕu thay x bëi y, thay y bëi z, thay z bëi x th× P kh«ng ®æi(ta nãi ®a thøc P cã thÓ ho¸n vÞ vßng quanh bëi c¸c biÕn x, y, z). Do ®ã nÕu P ®· chóa thïa sè x – y th× còng chóa thõa sè y – z, z – x. VËy P ph¶i cã d¹ng P = k(x – y)(y – z)(z – x).Ta thÊy k ph¶i lµ h»ng sè(kh«ng chóa biÕn) v× P cã bËc 3 ®èi víi tËp hîp c¸c biÕn x, y, z cßn tÝch (x – y)(y – z)(z – x) còng cã bËc ba ®èi víi tËp hîp c¸c biÕn x, y, z. V× ®¼ng thøc 6
7. x2(y z) y2(z x) z2(x y) k(x y)(y z)(z x) ®óng víi mäi x, y, z nªn ta g¸n cho c¸c biÕn x, y, z c¸c gi¸ trÞ riªng, ch¼ng h¹n x = 2, y = 1, z = 0 ta ®­îc k = -1 VËy P =- (x – y)(y – z)(z – x) = (x – y)(y – z)(x - z) C¸c bµi to¸n Bµi 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö: M a(b c a)2 b(c a b)2 c(a b c)2 (a b c)(b c a)(c a b) N a(m a)2 b(m b)2 c(m c)2 abc , víi 2m = a+ b + c. Bài 2: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö: a)A (a b c)(ab bc ca) abc. b)B a(a 2b)3 b(2a b)3. c)C ab(a b) bc(b c) ac(a c). d)D (a b)(a2 b2 ) (b c)(b2 c2 ) (c a)(c2 a2 ) e)E a3 (c b2 ) b3 (a c2 ) c3 (b a2 ) abc(abc 1). f ) f a(b c)3 b(c a)3 c(a b)3. g)G a2b2 (a b) b2c2 (b c) a2c2 (c a). h)H a4 (b c) b4 (c a) c4 (a b). V-Ph­ong ph¸p hÖ sè bÊt ®Þnh Bài 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö: a)A x4 6x3 12x2 14x 3 b)B 4x4 4x3 5x2 2x 1 c)C 3x2 22xy 11x 37y 7y2 10 d)D x4 7x3 14x2 7x 1 e)E x4 8x 63 Bµi tËp: VÝ dô . Ph©n tÝch biÓu thøc sau thµnh nh©n tö : A = x3 – 3(a2 + b2)x + 2(a3 + b3) Lêi gi¶i §Æt S = a + b vµ P = ab, th× a2 + b2 = S2 - 2P ; a3 + b3 = S3 - 3SP . V× vËy : A = x3 – 3(S2 - 2P )x + 2(S3 - 3SP ) = (x3 - S3 )- (3S2x - 3S3 ) + (6Px - 6SP) = (x - S)(x2 + Sx + S2 )- 3S2 (x - S) + 6P(x - S) = (x - S)(x2 + Sx - 2S2 + 6P) = (x – a – b)[x2 + (a + b)x – 2(a + b)2 + 6ab] 7
8. = (x – a – b)[x2 + (a + b)x – 2(a2 Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö : a) x3 + 4x2 – 29x + 24 ; b) x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1 ; c) (x2 – x + 2)2 + (x – 2)2 ; d) 6x5 + 15x4 + 20x3 + 15x2 + 6x + 1 ; e) x6 + 3x5 + 4x4 + 4x3 + 4x2 + 3x + 1. f) x8 + x4 + 1; g) x10 + x5 + 1 ; h) x12 + 1 ; i) (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 ; k) (x + y + z)5 – x5 – y5 – z5. 4. Chuyªn ®Ò: X¸c ®Þnh ®a thøc * §Þnh lÝ Beout (BªZu) vµ øng dông: 1) §Þnh lÝ BªZu: D­ trong phÐp chia ®a thøc f(x) cho nhÞ thøc x - a b»ng f(a) (gi¸ trÞ cña f(x) t¹i x = a): f (x) (x a)q(x) f (a) (Beout, 1730 - 1783, nhµ to¸n häc Ph¸p) HÖ qu¶: NÕu a lµ nghiÖm cña ®a thõc f(x) th× f(x) chia hÕt cho x - a. ¸p dông: §Þnh lÝ BªZu cã thÓ dïng ®Ó ph©n tÝch mét ®a thøc thµnh nh©n tö. Thùc hiÖn nh­ sau: B­íc 1: Chän mét gi¸ trÞ x = a nµo ®ã vµ thö xem x = a cã ph¶i lµ nghiÖm cña f(x) kh«ng. B­íc 2: NÕu f(a) = 0, theo ®Þnh lÝ BªZu ta cã: f (x) (x a) p(x) §Ó t×m p(x) thùc hiÖn phÐp chia f(x) cho x - a. B­íc 3: TiÕp tôc ph©n tÝch p(x) thµnh nh©n tö nÕu cßn ph©n tÝch ®­îc. Sau ®ã viÕt kÕt qu¶ cuèi cïng cho hîp lÝ. D¹ng 1: T×m ®a thøc th­¬ng b»ng ph­¬ng ph¸p ®ång nhÊt hÖ sè(ph­¬ng ph¸p hÖ sè bÊt ®Þnh), ph­¬ng ph¸p gi¸ trÞ riªng , thùc hiÖn phÐp chia ®a thøc. *Ph­¬ng ph¸p1: Ta dùa vµo mÖnh ®Ò sau ®©y : NÕu hai ®a thøc P(x) vµ Q(x) b»ng nhau: P(x) = Q(x) th× c¸c h¹ng tö cïng bËc ë hai ®a thøc ph¶i cã hÖ sè ph¶i cã hÖ sè b»ng nhau. VÝ dô: P(x) ax 2 2bx 3; Q(x) x 2 4x p NÕu P(x) = Q(x) th× ta cã: a = 1(hÖ sè cña lòy thõa 2) 2b = - 4 (hÖ sè cña lòy thõa bËc 1) - 3 = - p (hÖ sè h¹ng tö bËc kh«ng hay h¹ng tö tù do) *Ph­¬ng ph¸p2: Cho hai ®a thøc P(x) vµ Q(x) tháa m·n deg P(x) > deg Q(x) Gäi th­¬ng vµ d­ trong phÐp chia P(x) cho Q(x) lÇn l­ît lµ M(x) vµ N(x) Khi ®ã ta cã: P(x) Q(x).M (x) N(x) (Trong ®ã: deg N(x) < deg Q(x)) (I) V× ®¼ng thøc (I) ®óng víi mäi x nªn ta cho x lÊy mét gi¸ trÞ bÊt k× : x 8
9. ( lµ h»ng sè). Sau ®ã ta ®i gi¶i ph­¬ng tr×nh hoÆc hÖ ph­¬ng tr×nh ®Ó t×m c¸c hÖ sè cña c¸c h¹ng tö trong c¸c ®a thøc ( §a thøc th­¬ng, ®a thøc chia, ®a thøc bÞ chia, sè d­). VÝ dô: Bµi 1(PhÇn bµi tËp ¸p dông) Gäi th­¬ng cña phÐp chia A(x) cho x + 1 lµ Q(x), ta cã: a 2 x 3 3ax 2 6x 2a (x 1).Q(x) . Vì đẳng thức đúng với mọi x nên cho x = -1 ta dược: 2 2 a 2 a 3a 6 2a 0 a a 6 0 a 3 Với a = -2 thì A 4x 3 6x 2 6x 4,Q(x) 4x 2 10x 4 Với a = 3 thì A 9x 3 9x 2 6x 6,Q(x) 9x 2 6 *Ph­¬ng ph¸p 3:Thùc hiÖn phÐp chia ®a thøc (nh­ SGK) Bµi tËp ¸p dông Bài 1: Cho đa thức A(x) a2 x3 3ax2 6x 2a(a Q) . X¸c định a sao cho A(x) chia hết cho x + 1. Bµi 2: Ph©n tÝch ®a thøc P(x) x4 x3 2x 4 thµnh nh©n tö, biÕt r»ng mét nh©n tö cã d¹ng: x2 dx 2 Bµi 3: Víi gi¸ trÞ nµo cña a vµ b th× ®a thøc : x3 ax2 2x b chia hÕt cho ®a thøc: x2 x 1. H·y gi¶i bµi to¸n trªn b»ng nhiÒu c¸ch kh¸c nhau. Bµi 4: X¸c ®Þnh gi¸ trÞ k ®Ó ®a thøc: f (x) x4 9x3 21x2 x k chia hÕt cho ®a thøc: g(x) x2 x 2 . Bài 5: Tìm tất cả các số tự nhiên k để cho đa thức: f (k) k 3 2k 2 15 chia hết cho nhị thức: g(k) k 3. Bài 6: Với giá trị nào của a và b thì đa thức: f (x) x4 3x3 3x2 ax b chia hết cho đa thức: g(x) x2 3x 4 . Bài 7: a) Xác định các giá trị của a, b và c để đa thức: P(x) x4 ax2 bx c Chia hết cho (x 3)3 . b) Xác định các giá trị của a, b để đa thức: Q(x) 6x4 7x3 ax2 3x 2 chia hết cho đa thức M (x) x 2 x b . c) Xác định a, b để P(x) x 3 5x 2 8x a chia hết cho M (x) x 2 x b . Bài 8: Hãy xác định các số a, b, c để có đẳng thức: x3 ax2 bx c (x a)(x b)(x c) (Để học tốt Đại số 8) Bài 9: Xác định hằng số a sao cho: a) 10x 2 7x a chia hết cho 2x 3 . b) 2x 2 ax 1 chia cho x 3 dư 4. c) ax 5 5x 4 9 chia hết cho x 1. Bài 10: Xác định các hằng số a và b sao cho: a) x 4 ax 2 b chia hết cho x 2 x 1. b) ax 3 bx 2 5x 50 chia hết cho x 2 3x 10 . 9
10. c) ax 4 bx 2 1 chia hết cho (x 1) 2 . d) x 4 4 chia hết cho x 2 ax b . Bài 11: Tìm các hăng số a và b sao cho x 3 ax b chia cho x 1thì dư 7, chia cho x 3 thì dư -5. Bài 12: Tìm các hằng số a, b, c sao cho ax 3 bx 2 c chia hết cho x 2 , chia cho x 2 1 thì dư x 5 . (Một số vấn đề phát triển Đại số 8) Bài 13: Cho đa thức: P(x) x 4 x 3 x 2 ax b và Q(x) x 2 x 2 . Xác định a, b để P(x) chia hết cho Q(x). Bài 14: Xác định a và b sao cho đa thức P(x) ax 4 bx 3 1 chia hết cho đa thức Q(x) (x 1) 2 Bài 15: Cho các đa thức P(x) x 4 7x 3 ax 2 3x 2 và Q(x) x 2 x b . Xác định a và b để P(x) chia hết cho Q(x). (23 chuyên đề toán sơ cấp) Dạng 2: Phương pháp nội suy NiuTơn Phương pháp: Để tìm đa thức P(x) bậc không quá n khi biết giá trị của đa thức tại n + 1 điểm C1 ,C2 ,C3 ,,Cn 1 ta có thể biểu diễn P(x) dưới dạng: P(x) b0 b1 (x C1 ) b2 (x C1 )(x C2 )  bn (x C1 )(x C2 )(x Cn ) Bằng cách thay thế x lần lượt bằng các giá trị C1 ,C2 ,C3 ,,Cn 1 vào biểu thức P(x) ta lần lượt tính được các hệ số b0 ,b1 ,b2 ,,bn . Bµi tËp ¸p dông Bài 1: Tìm đa thức bậc hai P(x), biết: P(0) 25, P(1) 7, P(2) 9 . Giải Đặt P(x) b0 b1 x b2 x(x 1) (1) b0 25 Thay x lần lượy bằng 0; 1; 2 vào (1) ta được: 7 25 b1 b1 18 9 25 18.2 b2 .2.1 b2 1 Vậy, đa thức cần tìm có dạng: P(x) 25 18x x(x 1) P(x) x 2 19x 25 . Bài 2: Tìm đa thức bậc 3 P(x), biết: P(0) 10, P(1) 12, P(2) 4, P(3) 1 Hướng dẫn: Đặt P(x) b0 b1 x b2 x(x 1) b3 x(x 1)(x 2) (1) Bài 3: Tìm đa thức bậc ba P(x), biết khi chia P(x) cho (x 1),(x 2),(x 3) đều được dư bằng 6 và P(-1) = - 18. Hướng dẫn: Đặt P(x) b0 b1 (x 1) b2 (x 1)(x 2) b3 (x 1)(x 2)(x 3) (1) P( 1) 0 Bài 4: Cho đa thức bậc bốn P(x), thỏa mãn: P(x) P(x 1) x(x 1)(2x 1),(1) a) Xác định P(x). b) Suy ra giá trị của tổng S 1.2.3 2.3.5  n(n 1)(2n 1),(n N * ) . Hướng dẫn: Thay x lần lượt bằng 0; 1; 2; 3 vào (1), ta được : 10
11. P( 1) P( 2) 0 P( 2) 0, P(0) P( 1) 0 P(0) 0 P(1) P(0) 1.2.3 P(1) 6 P(2) P(1) 2.3.5 P(2) 36 Đặt P(x) b0 b1 (x 1) b2 (x 1)x b3 (x 1)x(x 1) b4 (x 1)x(x 1)(x 2) (2) Thay x lần lượt bằng -1; 0; 1; 2; -2 vào (2) ta được: 0 b0 0 b1 b1 0, 6 b2 .2.1 b2 3, 36 3.3.2 b3 .3.2.1 b3 3 1 0 3.( 1)( 2) 3.( 1)( 2)( 3) b ( 1)( 2)( 3)( 4) b 4 4 2 Vậy, đa thức cần tìm có dạng: 1 1 P(x) 3(x 1)x 3(x 1)x(x 1) (x 1)x(x 1)(x 2) x(x 1) 2 (x 2) 2 2 (Tuyển chọn bài thi HSG Toán THCS) Bài 5: cho đa thức P(x) ax 2 bx c,(a,b,c 0) . Cho biết 2a 3b 6c 0 1 1) Tính a, b, c theo P(0), P , P(1) . 2 1 2) Chứng minh rằng: P(0), P , P(1) không thể cùng âm hoặc cùng dương. 2 P(0) 19 Bài 6: Tìm một đa thức bậc hai, cho biết: P(1) 85 P(2) 1985 5. Chuyªn ®Ò: BiÓn ®æi ph©n thøc h÷u tØ VÝ dô 1. 3n + 1 a) Chøng minh r»ng ph©n sè lµ ph©n sè tèi gi¶n n N ; 5n + 2 n2 + 4 b) Cho ph©n sè A = (n N). Cã bao nhiªu sè tù nhiªn n nhá h¬n n + 5 2009 sao cho ph©n sè A ch­a tèi gi¶n. TÝnh tæng cña tÊt c¶ c¸c sè tù nhiªn ®ã. Lêi gi¶i a) §Æt d = ¦CLN(5n + 2 ; 3n + 1) 3(5n + 2) – 5(3n + 1)  d hay 1  d d = 1. 3n + 1 VËy ph©n sè lµ ph©n sè tèi gi¶n. 5n + 2 11
12. 29 29 b) Ta cã A = n - 5 + . §Ó A ch­a tèi gi¶n th× ph©n sè ph¶i n + 5 n + 5 ch­a tèi gi¶n. Suy ra n + 5 ph¶i chia hÕt cho mét trong c¸c ­íc d­¬ng lín h¬n 1 cña 29. V× 29 lµ sè nguyªn tè nªn ta cã n + 5  29 n + 5 =29k (k N) hay n=29k – 5. Theo ®iÒu kiÖn ®Ò bµi th× 0 ≤ n = 29k – 5 < 2009 1 ≤ k ≤ 69 hay k {1; 2; ; 69} VËy cã 69 sè tù nhiªn n tháa m·n ®iÒu kiÖn ®Ò bµi. Tæng cña c¸c sè nµy lµ : 29(1 + 2 + + 69) – 5.69 = 69690. VÝ dô 2. Cho a, b, c ≠ 0 vµ a + b + c ≠ 0 tháa m·n ®iÒu kiÖn 1 1 1 1 + + = . a b c a + b + c Chøng minh r»ng trong ba sè a, b, c cã hai sè ®èi nhau. Tõ ®ã suy ra r»ng : 1 1 1 1 + + = . a2009 b2009 c2009 a2009 + b2009 + c2009 Lêi gi¶i 1 1 1 1 1 1 1 1 Ta cã : + + = + + - = 0 a b c a + b + c a b c a + b + c a + b a + b c(a + b + c) + ab + = 0 (a + b). = 0 ab c(a + b + c) abc(a + b + c) éa + b = 0 éa = - b ê ê (a + b)(b + c)(c + a) = 0 êb + c = 0 êb = - c ®pcm. ê ê ê ê ëc + a = 0 ëc = - a 1 1 1 1 1 1 1 Tõ ®ã suy ra : + + = + + = a2009 b2009 c2009 a2009 (- c)2009 c2009 a2009 1 1 1 = = a2009 + b2009 + c2009 a2009 + (- c)2009 + c2009 a2009 1 1 1 1 + + = . a2009 b2009 c2009 a2009 + b2009 + c2009 VÝ dô 3. §¬n gi¶n biÓu thøc : 1 æ1 1 ö 3 æ1 1 ö 6 æ1 1ö A = ç + ÷+ ç + ÷+ ç + ÷. (a + b)3 èça3 b3 ø÷ (a + b)4 èça2 b2 ø÷ (a + b)5 èça bø÷ Lêi gi¶i §Æt S = a + b vµ P = ab. Suy ra : a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab = S2 - 2P a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b) = S3 - 3SP . 1 1 a + b S 1 1 a2 + b2 S2 - 2P Do ®ã : + = = ; + = = ; a b ab P a2 b2 a2b2 P2 12
13. 1 1 a3 + b3 S3 - 3SP + = = . a3 b3 a3b3 P3 1 S3 - 3SP 3 S2 - 2P 6 S Ta cã : A = . + . + . S3 P3 S4 P2 S5 P = S2 - 3P 3(S2 - 2P) 6 (S4 - 3S2P) + (3S2P - 6P2 ) + 6P2 S4 + + = = S2P3 S4P2 S4P S4P3 S4P3 1 1 Hay A = = . P3 a3b3 VÝ dô 4. Cho a, b, c lµ ba sè ph©n biÖt. Chøng minh r»ng gi¸ trÞ cña biÓu thøc sau kh«ng phô thuéc vµo gi¸ trÞ cña x : (x - a)(x - b) (x - b)(x - c) (x - c)(x - a) S(x) = + + . (c- a)(c- b) (a - b)(a - c) (b - c)(b - a) Lêi gi¶i C¸ch 1 x2 - (a + b)x + ab x2 - (b + c)x + bc x2 - (c + a)x + ca S(x) = + + = Ax2 (c- a)(c- b) (a - b)(a - c) (b - c)(b - a) – Bx + C 1 1 1 víi : A = + + ; (c- a)(c- b) (a - b)(a - c) (b - c)(b - a) a + b b + c c + a B = + + ; (c- a)(c- b) (a - b)(a - c) (b - c)(b - a) ab bc ca C = + + (c- a)(c- b) (a - b)(a - c) (b - c)(b - a) b - a + c- b + a - c Ta cã : A = = 0 ; (a - b)(b - c)(c- a) (a + b)(b - a) + (b + c)(c- b) + (c + a)(a - c) B = (a - b)(b - c)(c- a) b2 - a2 + c2 - a2 + a2 - c2 = = 0 ; (a - b)(b - c)(c- a) ab(b - a) + bc(c- b) + ca(a - c) ab(b - a) + bc[(c- a) + (a - b)]+ ca(a - c) C = = (a - b)(b - c)(c- a) (a - b)(b - c)(c- a) (a - b)(bc- ab) + (c- a)(bc- ca) (a - b)(b - c)(c- a) = = = 1. (a - b)(b - c)(c- a) (a - b)(b - c)(c- a) VËy S(x) = 1x (®pcm). C¸ch 2 13
14. §Æt P(x) = S(x) – 1 th× ®a thøc P(x) lµ ®a thøc cã bËc kh«ng v­ît qu¸ 2. Do ®ã, P(x) chØ cã tèi ®a hai nghiÖm. NhËn xÐt : P(a) = P(b) = P(c) = 0 a, b, c lµ ba nghiÖm ph©n biÖt cña P(x). §iÒu nµy chØ x¶y ra khi vµ chØ khi P(x) lµ ®a thøc kh«ng, tøc lµ P(x) = 0 x. Suy ra S(x) = 1 x ®pcm. 1 VÝ dô 9. Cho x + = 3. TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau : x 1 1 1 1 a) A = x2 + ; b) B = x3 + ; c) C = x4 + ; d) D = x5 + . x2 x3 x4 x5 Lêi gi¶i 2 2 1 æ 1ö a) A = x + = çx + ÷ - 2 = 9 - 2 = 7 ; x2 èç xø÷ 3 3 1 æ 1ö æ 1ö b) B = x + = çx + ÷ - 3çx + ÷= 27- 9 = 18 ; x3 èç xø÷ èç xø÷ 2 4 1 æ2 1 ö c) C = x + = çx + ÷ - 2 = 49 - 2 = 47 ; x4 èç x2 ø÷ æ2 1 öæ3 1 ö 5 1 1 d) A.B = çx + ÷çx + ÷= x + + x + = D + 3 D = 7.18 – 3 = èç x2 ø÷èç x3 ø÷ x x5 123. 2 ax + b c VÝ dô 5. X¸c ®Þnh c¸c sè a, b, c sao cho : = + . (x2 + 1)(x - 1) x2 + 1 x - 1 Lêi gi¶i Ta cã : ax + b c (ax + b)(x - 1) + c(x2 + 1) (a + c)x2 + (b - a)x + (c- b) + = = x2 + 1 x - 1 (x2 + 1)(x - 1) (x2 + 1)(x - 1) 2 §ång nhÊt ph©n thøc trªn víi ph©n thøc , ta ®­îc : (x2 + 1)(x - 1) ì + = ì = - ï a c 0 ï a 1 ï ï 2 - x - 1 1 í b - a = 0 Û í b = - 1. VËy 2 = 2 + . ï ï (x + 1)(x - 1) x + 1 x - 1 îï c- b = 2 îï c = 1 14
15. 6. Chuyªn ®Ò: Gi¶i ph­¬ng tr×nh I/Phương trình ax+b=0 (1) và phương trình đưa về dạng (1) *Cách giải: (Biến đổi và đưa hết về một vế sau đó rút gọn thành dạng ax+b=0) TH1:a=0 nếu b 0 thì phương trình (1)vô nghiệm nếu b=0 thì phương trình (1) vô số nghiệm b TH2:a 0 thì phương trình (1) có nghiệm duy nhất x= a *Ví dụ: a)3x+1=7x-11 b1: 3x+1-7x+11=0 (biến đổi và chuyển về một vế) b2: -4x+12=0 (rút gọn về dạng ax+b=0) 12 b3: x= 3 4 b)1,2-(x-0,8)= -2(0,9+x) 1,2-x+0,8+1,8+2x=0 x+3,8=0 x= -3,8 *Các bài tập tương tự: a)7x+21=0 b)12-6x=0 c)5x-2=0 d)-2x+14=0 e)0.25x+1,5=0 f)6,36-5,3x=0 4 5 1 5 2 g) x h) x 1 x 10 3 6 2 9 3 i)11-2x=x-1 k)5-3x=6x+7 l)2(x+1)=3+2x m)2(1-1,5x)+3x=0 n)2,3x-2(0,7+2x)=3,6-1,7x o)3,6-0,5(2x+1)=x-0,25(2-4x) x 3 1 2x p)3(2,2-03x)=2,6+(0,1x-4) q) 6 5 3 3 13 3x 2 3 2(x 7) v) 2 x 5 x w) 5 5 5 6 4 7x 20x 1,5 5(x 1) 2 7x 1 2(2x 1) s) 5(x 9) y) 5 8 6 6 4 7 II/Phương trình tích: 15
16. A 0 *Cách giải: Pt:A.B=0 (A=0 (1) B=0 (2) ) B 0 Ta có pt (1),(2) là phương trình bậc nhất cách giải tương tự phần trên (Chú ý các phương trình chưa có dạng A.B=0 ta đưa về dạng A.B=0 bằng cách phân tích thành nhân tử ) *Ví dụ: a)(4x-10)(24+5x)=0 4x 10 0 (1) 24 5x 0 (2) 10 5 24 Từ (1) x= (2) x= 4 2 5 10 5 24 Vậy phương trình có 2 nghiệm x= hoặc x= 4 2 5 b)(x-1)(5x+3)=(3x-8)(x-1) (x-1)(5x+3)-(3x-8)(x-1)=0 (x-1)(2x+11)=0 x 1 0 x 1 11 2x 11 0 x 2 *Các bài tập tương tự: 2(x 3) 4x 3 a)(3,5-7x)(0,1x+2,3)=0 b)(3x-2) 0 7 5 7x 2 2(1 3x) c)(3,3-11x) 0 d) ( 3 x 5)(2x 2 1) 0 5 3 e) (2x 7)(x 10 3) 0 f) (2 3x 5)(2,5x 2) 0 g)3x(25x+15)-35(5x+3)=0 h)(2-3x)(x+11)=(3x-2)(2-5x) i)(2x2+1)(4x-3)=(2x2+1)(x-12) k)(2x-1)2+(2-x)(2x-1)=0 l)(x+2)(3-4x)=x2+4x+4 m)(x-1)(x2+5x-2)-(x2-1)=0 n)x3+1=x(x+1) 0)x2+(x=2) (11x-7)=4 p)x3+x2+x+1=0 q)x2-3x+2=0 r)4x2-12x+5=0 s)-x2+5x-6=0 t)2x2+5x+3=0 y) x 2 3(x 2 2) 0 16