Chuyên đề ôn tập hệ thức Vi ét môn Toán 9 - Nguyễn Thị Nguyệt Hà

Nội dung text: Chuyên đề ôn tập hệ thức Vi ét môn Toán 9 - Nguyễn Thị Nguyệt Hà

1. TRƯỜNG TH – THCS AN HIỆP TỔ KHOA HỌC TỰ NHIÊN CHUYÊN ĐỀ ÔN TẬP HỆ THỨC VI ÉT MÔN TOÁN 9 I. ÔN LÝ THUYẾT * Định lí Vi-ét: (thuận) 2 Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình ax + bx + c = 0 (a 0 ) thì b x x 1 2 a c x x 1 2 a - Nhẩm nghiệm + Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0 ) có a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm c là x1 = 1, còn nghiệm kia là x2 = . a + Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0 ) có a - b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là c x1 = - 1, còn nghiệm kia là x2 = - . a * Định lí Vi-ét: (đảo) u v S Nếu hai số u, v thỏa mãn thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình u.v P x2 – Sx + P = 0.(Điều kiện để có hai số u, v là S2 - 4P 0) II. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI. 1. Dạng toán 1: Tính tổng và tích hai nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn. a.Phương pháp: Trước khi áp dụng định lí Vi-ét, ta cần kiểm tra điều kiện xem phương trình bậc hai một ẩn có hai nghiệm hay không (Tức là kiểm tra a 0, 0 ' 0 có thỏa mãn không). b. Ví dụ: Ví dụ 1 (Bài 25/SGK-Trang 52): Tính tổng và tích hai nghiệm của các phương trình: a) 2x2 - 17x + 1 = 0 b) 25x2 + 10x + 1 = 0 Giải a) 2x2 - 17x + 1 = 0 (a = 2 0, b = -17, c = 1) 2 Ta có: 17 4.2.1 281 0 Phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1, x2. Theo hệ b 17 c 1 thức Vi-ét, ta có: x x , x .x . 1 2 a 2 1 2 a 2 b) 25x2 + 10x + 1 = 0 (a = 25 0, b = 2b’ = 10, c = 1) 2 Ta có: ' 5 25.1 0 Phương trình có hai nghiệm x1, x2. Theo hệ thức b 10 2 c 1 Vi-ét, ta có: x x , x .x . 1 2 a 25 5 1 2 a 25 Ví dụ 2 (Bài 30/SGK-Trang 54): Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm, rồi tính tổng và tích các nghiệm theo m: a) x2 - 2x + m = 0 b) x2 + 2 m 1 x + m2 = 0 Giải
2. a) x2 - 2x + m = 0 (a = 1 0, b = 2b’ = - 2, c = m). 2 Ta có: ' 1 1.m 1 m . Để phương trình có nghiệm ' 0 1 m 0 m 1. Vậy với m 1, phương trình có b c hai nghiệm x1, x2. Theo hệ thức Vi-ét, ta có: x x 2, x .x m . 1 2 a 1 2 a b) x2 + 2 m 1 x + m2 = 0 (a = 1 0, b = 2b’ = m 1 , c = m). 2 2 2 2 Ta có: ' m 1 1.m m 2m 1 m 1 2m . 1 1 Để phương trình có nghiệm ' 0 1 2m 0 m . Vậy với m , phương trình 2 2 có hai nghiệm x1, x2. Theo hệ thức Vi-ét, ta có: b 2 m 1 c m2 x x 2 1 m , x .x m2 . 1 2 a 1 1 2 a 1 2. Dạng toán 2: Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn. a. Phương pháp: Để thực hiện việc nhẩm nghiệm (nếu có thể) cho phương trình bậc hai một ẩn ax2 + bx + c = 0 ( a 0 ), ta áp dụng nhận xét sau: Trường hợp 1 (Trường hợp đặc biệt): - Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0 ) có a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là c x1 = 1, còn nghiệm kia là x2 = . a - Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0 ) có a - b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là c x1 = - 1, còn nghiệm kia là x2 = - . a Trường hợp 2: Cho phương trình x2 + bx + c = 0. Ta thực hiện theo các bước: x1 x2 b - Bước 1: Vận dụng hệ thức Vi-ét để thiết lập cho các nghiệm x1 và x2 là x1.x2 c - Bước 2: Thực hiện phân tích c thành tích của hai thừa số (c = m.n), từ đó ta tính ngay được m + n. Khi đó: - Nếu m + n = - b thì ta chuyển sang bước 3 (kết luận). - Nếu m + n - b, thì ta chuyển sang bước 2. - Bước 3: Kết luận: 2 Phương trình x + bx + c = 0 có hai nghiệm x1 = m và x2 = n. Chú ý: Thuật toán trên có tính dừng và được hiểu như sau: - Nếu tìm được một cặp (m, n) thỏa mãn điều kiện m + n = - b thì dừng lại và đưa ra lời kết luận nghiệm. - Nếu tìm được một cặp (m, n) không thỏa mãn điều kiện m + n = - b thì dừng lại và trong trường hợp này không nhẩm được nghiệm. b. Ví dụ: Ví dụ 1 (Bài 26/SGK-Trang 53): Dùng điều kiện a + b + c = 0 hoặc a – b + c = 0 để tính nhẩm nghiệm của mỗi phương trình sau: a) 35x2 - 37x + 2 = 0 b) x2 - 49x - 50 = 0 Giải a) 35x2 - 37x + 2 = 0
3. Nhận thấy phương trình có a + b + c = 35 + (-37) + 2 = 0. Do đó phương trình có một nghiệm c 2 là x1 = 1, x2 = . a 35 b) x2 - 49x - 50 = 0 Nhận thấy phương trình có a - b + c = 1 - (-49) + (-50) = 0. Do đó phương trình có một nghiệm c 50 là x1 = - 1, x2 = - 50. a 1 Ví dụ 2 (Bài 27/SGK-Trang 53, Bài 38/SBT-Trang 44): Dùng hệ thức Vi-ét để tính nhẩm nghiệm của mỗi phương trình: a) x2 - 7x + 12 = 0 b) x2 + 6x + 8 = 0 Giải a) x2 - 7x + 12 = 0. 2 Ta thấy 7 4.1.12 1 0 . Do đó phương trình có hai nghiệm x1 và x2 thỏa mãn x1 x2 7 x1 x2 3 4 x1.x2 12 3.4 x1.x2 12 3.4 Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x1 = 3 và x2 = 4. b) x2 + 6x + 8 = 0 2 Ta thấy ' 3 1.8 1 0. Do đó phương trình có hai nghiệm x1 và x2 thỏa mãn x1 x2 6 x1 x2 2 4 x .x 8 2 . 4 1 2 x1.x2 8 2 . 4 Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x1 = - 2 và x2 = - 4. Nhận xét: Đối với những phương trình có dạng như trong 2 ví dụ thì giải phương trình bằng nhẩm nghiệm là nhanh gọn hơn việc vận dụng công thức nghiệm (công thức nghiệm thu gọn) 3. Dạng toán 3: Dùng hệ thức Vi-ét tìm nghiệm còn lại khi phương trình bậc hai một ẩn cho biết trước một nghiệm. a. Phương pháp: 2 Giả sử phương trình ax + bx + c = 0 (a 0 ) cho biết một nghiệm x1 = m. Tìm nghiệm còn lại x2 ? b Ta làm như sau: Dùng hệ thức Vi-ét x x = . Thay x1 = m vào hệ thức, ta có 1 2 a b b c x x m hoặc ta dùng hệ thức x .x . Thay x1 = m 2 a 1 a 1 2 a c c vào hệ thức, ta có x2 : x1 : m . a a b. Ví dụ: Ví dụ 1 (Bài 39/SBT-Trang 44): a) Chứng tỏ rằng phương trình 3x 2 + 2x - 21 = 0 có một nghiệm là -3. Hãy tìm nghiệm kia. b) Chứng tỏ rằng phương trình -4x2 - 3x + 115 = 0 có một nghiệm là 5. Tìm nghiệm kia. Giải 2 a) x1 = - 3 là một nghiệm của phương trình 3x + 2x - 21 = 0. Vì 3(-3)2 + 2.(-3) - 21 = 27 – 6 – 21 = 0. Cách 1:
4. Theo hệ thức Vi-ét, ta có: b 2 2 2 2 7 x x = = x x 3 3 . 1 2 a 3 2 3 1 3 3 3 Cách 2: Theo hệ thức Vi-ét, ta có: c 21 7 x .x 7 x 7 : x 7 : 3 1 2 a 3 2 1 3 2 b) x1 = 5 là một nghiệm của phương trình -4x - 3x + 115 = 0. Vì -4.52 – 3.5 + 115 = - 100 – 15 + 115 = 0. Theo hệ thức Vi-ét, ta có: c 115 115 115 23 x1.x2 x2 : x1 :5 a 4 4 4 4 Ví dụ 2 (Bài 40/SBT-Trang 44): Dùng hệ thức Vi-ét để tìm nghiệm x 2 của phương trình, rồi tìm giá trị m trong mỗi trường hợp sau: 2 a) x + mx - 35 = 0, biết nghiệm x1 = 7; 2 1 b) 3x – 2(m – 3)x + 5 = 0, biết nghiệm x1 = . 3 Giải a) x2 + mx - 35 = 0. c 35 Theo hệ thức Vi-ét, ta có: x .x 35 . Mà x1 = 7 nên suy ra: 1 2 a 1 x2 35: x1 35: 7 5. Cũng theo hệ thức Vi-ét, ta có: b m x x = = m 7 5 m m 2 1 2 a 1 Vậy x2 = 5, m = 2. b) 3x2 – 2(m – 3)x + 5 = 0. c 5 1 Theo hệ thức Vi-ét, ta có: x .x . Mà x1 = nên suy ra: 1 2 a 3 3 5 5 1 x : x : 5.. 2 3 1 3 3 Cũng theo hệ thức Vi-ét, ta có: b 2 m 3 1 2 m 3 x x = = 5 16 2m 6 m 11. 1 2 a 3 3 3 Vậy x2 = 5, m = 11. c Nhận xét: Trong ví dụ 2 này ta sử dụng hệ thức Vi-ét x .x trước để tìm x 2 trước, sau đó 1 2 a b sử dụng hệ thức Vi-ét x x = (vì lúc này đã biết x1 và x2) để suy ra giá trị của tham số. 1 2 a 4. Dạng toán 4: Tìm hai số biết tổng và tích của chúng. a. Phương pháp: u v S Nếu hai số u, v thỏa mãn thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình x 2 – Sx + P u.v P = 0 (1)
5. u x 2 1 Nhận xét: Nếu (1) có hai nghiệm x 1, x2 (điều kiện S - 4P 0) thì ta được: hoặc v x2 u x2 . v x1 b. Ví dụ: Ví dụ 1 (Bài 28/SGK-Trang 53): Tìm hai số u và v trong trường hợp sau: a) u + v = 32, u.v = 231; b) u + v = -8, u.v = - 105; c) u + v = 2, u.v = 9 Giải a) Ta có u + v = 32, u.v = 231. Do đó u và v là nghiệm của phương trình: x2 - 32x + 231 = 0. 32 2 4.231 100 0 100 10 32 10 32 10 Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x 21; x 11. 1 2 2 2 Vậy u = 21, v = 11 hoặc u = 11, v = 21. b) Ta có u + v = -8, u.v = - 105. Do đó u và v là nghiệm của phương trình: x2 + 8x - 105 = 0. 82 4. 105 484 0 22 . 8 22 8 22 Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x 7; x 15. 1 2 2 2 Vậy u = 7, v = -15 hoặc u = -15, v = 7. c) Ta có u + v = 2, u.v = 9 Do đó u và v là nghiệm của phương trình: x2 - 2x + 9 = 0. 2 2 4.9 32 0 Phương trình vô nghiệm. Vậy không tồn tại cặp u, v nào thỏa mãn điều kiện trên. Ví dụ 2 (Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình): Tìm các cạnh của hình chữ nhật, biết chu vi bằng 30m và diện tích của hình chữ nhật bằng 54m2. Giải Gọi độ dài hai cạnh của hình chữ nhật là u và v, điều kiện u, v > 0. Vì chu vi của hình chữ nhật bằng 30m, nên ta có phương trình: 2.(u + v ) = 30 u + v = 15 (1) Vì diện tích của hình chữ nhật bằng 54m2, nên ta có phương trình: u.v = 54 (2) u v 15 Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình: . Do đó u, v là nghiệm của phương trình bậc u.v 54 2 hai: x2 - 15x + 54 = 0. Ta có 15 4.54 9 0 phương trình có nghiệm x1 6; x2 9 . Vậy hình chữ nhật có hai cạnh là 6m và 9m. Ví dụ 3. Tìm các cặp số (x;y) biết
6. x y 10 x2 y2 12 a) b) xy 24 xy 4 Giải x y 10 x y 10 a) . xy 24 x. y 24 Do đó x và (-y) là nghiệm của phương trình: t2 – 10t - 24 = 0. 2 Ta có 10 4. 24 196 0 14. Phương trình có hai nghiệm phân biệt: t 1 = 12; t2 = -2. Suy ra x = 12, - y = -2 x = 12, y = 2 hoặc x = -2, - y = 12 x = - 2, y = -12. Vậy các cặp số (x;y) là: (12; 2); (-2; -12). 2 2 2 2 x y 2 x y 12 x y 2xy 12 x y 4 b) x y 2 xy 4 xy 4 xy 4 xy 4 x y 2 • Với x + y = 2, ta có hệ: x, y là nghiệm của phương trình: xy 4 2 t – 2t - 4 = 0 t1 1 5, t2 1 5 . x 1 5, y 1 5 hoặc x 1 5, y 1 5 . x y 2 • Với x + y = - 2, có hệ: x, y là nghiệm của phương trình: xy 4 2 t + 2t - 4 = 0 t3 1 5, t4 1 5 . x 1 5, y 1 5 hoặc x 1 5, y 1 5 . Vậy các cặp số (x;y) là: 1 5; 1 5 ; 1 5; 1 5 ; 1 5; 1 5 ; 1 5; 1 5 Ví dụ 4. Giải phương trình sau: x 9 x x 9 x 4 (1) Giải Điều kiện: x 0 . u x 9 x Đặt 0 u v và uv x 9 x 3. v x 9 x u v 4 Khi đó phương trình (1) được chuyển thành hệ: u, v là nghiệm của phương uv 3 2 trình: t - 4t + 3 = 0 t1 1, t2 3 u 1,v 3 0 u v
7. x 9 x 1 x 9 x 1 x 9 x 3 x 9 x 9 2 x 8 x 4 x 16 (TM) Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 16. 5. Dạng toán 5: Tính giá trị của biểu thức đối xứng giữa các nghiệm mà không giải phương trình. a. Phương pháp: 2 Biểu thức đối xứng giữa các nghiệm x 1 và x2 của phương trình ax + bx + c = 0 (a 0 ) là biểu thức có giá trị không thay đổi khi ta hoán vị (đổi chỗ) x1 và x2. Ta thực hiện theo các bước: • Bước 1: Xét biệt thức b2 4ac 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 (hoặc ' 0). • Bước 2: Tìm tổng x 1 + x2 = S và x1x2 = P của phương trình, rồi thay vào biểu thức. Chú ý: Một số phép biến đổi: 2 2 2 2 (1). x1 x2 x1 x2 2x1x2 S 2P; 3 3 3 3 (2). x1 x2 x1 x2 3x1x2 x1 x2 S 3SP; 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (3). x1 x2 x1 x2 x1 x2 2 x1x2 S 2P 2P ; 1 1 x x S (4). 1 2 ; x1 x2 x1x2 P 1 1 x2 x2 S2 2P (5). 1 2 . x2 x2 2 P2 1 2 x1x2 b. Ví dụ: Ví dụ 1. Cho phương trình x 2 – 6x + 8 = 0. Không giải phương trình, hãy tính giá trị các biểu thức: 2 2 1 1 2 2 a) A = x1 x2 ; b) B = ; c) C = x1 x2 d) D = x1 x2 x1 x2 Giải 2 Phương trình x2 – 6x + 8 = 0 có ' 3 1.8 9 8 1 0 phương trình có hai nghiệm S x1 x2 6 phân biệt x1, x2. Theo định lí Vi-ét ta có: P x1x2 8 2 2 2 2 2 a) A = x1 x2 = x1 x2 2x1x2 S 2P = 6 – 2.8 = 36 – 16 = 20. Vậy A = 20 1 1 x x S 6 3 3 b) B = 1 2 . Vậy B = x1 x2 x1x2 P 8 4 4 2 2 c) C = x1 x2 x1 x2 x1 x2 S. x1 x2 6. x1 x2 . Mà ta có:
8. 2 2 2 2 2 2 x1 x2 x1 x2 2x1x2 x1 x2 4x1x2 S 4P 6 4.8 4 x1 x2 2 Vậy C = 12. 2 d) D = x1 x2 S 4P 4 2. Ví dụ 2. (Đề tuyển sinh vào lớp 10 THPT, tỉnh Hải Dương 2004-2005) 2 Cho phương trình 2x – 7x + 4 = 0, gọi hai nghiệm của là x 1 và x2. Không giải phương trình, hãy tính giá trị các biểu thức sau: 3 3 a) x1 + x2 ; x1.x2 b) x1 + x2 c) x1 x2 Giải 2 Phương trình 2x2 – 7x + 4 = 0 có 7 4.2.4 17 0 phương trình có hai nghiệm 7 phân biệt x1, x2. Theo định lí Vi-ét: S x x ,P x x 2 1 2 2 1 2 7 a) x1 + x2 = S = ; x1.x2 = P = 2. 2 3 3 3 3 3 7 7 175 b) x1 x2 x1 x2 3x1x2 x1 x2 S 3SP 3. .2 . 2 2 8 7 c) x1 x2 do S x1 x2 0, P x1x2 2 0 x1,x2 0 . 2 Đặt C x1 x2 0 7 7 4 2 7 4 2 C2 x x 2 x x S 2 P 2 2 C x x 1 2 1 2 2 2 1 2 2 . 6. Dạng toán 6: Tìm hệ thức giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số. a. Phương pháp: Ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm x1, x2 (a 0, 0 hoặc a 0, ' 0). Bước 2: Áp dụng hệ thức Vi-ét tính S = x1 + x2, P = x1x2 theo tham số. Bước 3: Khử m để lập hệ thức giữa S và P, từ đó suy ra hệ thức giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số. b. Ví dụ: Ví dụ 1. Cho phương trình x2 – 2mx + 2m - 2 = 0 (x là ẩn) Tìm hệ thức liên hệ gữa x1, x2 không phụ thuộc vào m. Giải 2 Phương trình x2 – 2mx + 2m - 2 = 0 có: ' m2 2m 2 m 1 1 0 với mọi m. Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2. S x1 x2 2m (1) Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: . P x1x2 2m 2 (2) Lấy (1) trừ (2) vế theo vế, ta được S – P = 2 x1 + x2 - x1x2 = 2 (không phụ thuộc vào m). Ví dụ 2. Cho phương trình mx2 – (2m + 3)x + m - 4 = 0 (x là ẩn) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1, x2 . Khi đó tìm hệ thức liên hệ gữa x 1, x2 không phụ thuộc vào m.
9. Giải 2 Phương trình mx – (2m + 3)x + m - 4 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 m 0 m 0 m 0 m 0 2 9 . 0 2m 3 4m m 4 0 28m 9 0 m 28 2m 3 3 12 S x x 2 4S 8 (1) 1 2 m m m Áp dụng hệ thức Vi-ét: m 4 4 12 P x x 1 3P 3 (2) 1 2 m m m Cộng vế theo vế, ta được: 4S + 3P = 11 hay 4(x1 + x2) + 3x1x2 = 11 (Không phụ thuộc vào m). Nhận xét: Ngoài cách cộng vế theo vế, ta có thể thế m từ hệ thức (1) vào hệ thức (2) để khử m. Trong quá trình làm tránh vội vàng áp dụng ngay hệ thức Vi-ét mà quên mất bước tìm điều kiện để phương trình có nghiệm x1, x2. 7. Dạng toán 7: Tìm giá trị của tham số để các nghiệm của phương trình thỏa mãn một điều kiện cho trước. a. Phương pháp: Ta thực hiện theo các bước sau: • Bước 1: Tìm điều kiện của tham số (giả sử tham số là m) để phương trình có nghiệm x1, x2 (tức là cho 0 hoặc ' 0 ). x1 x2 S f (m) • Bước 2: Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta được: (I) . x1x2 P g(m) • Bước 3: Biểu diễn điều kiện cho trước thông qua hệ (I) để tìm m. • Bước 4: Kết luận: Chọn giá trị m thích hợp với điều kiện và trả lời. b. Ví dụ: Ví dụ 1. (Bài 62/SGK-Trang 64): Cho phương trình 7x2 + 2(m – 1)x – m2 = 0. a) Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm. b) Trong trường hợp phương trình có nghiệm, dùng hệ thức Vi-ét, hãy tính tổng các bình phương hai nghiệm của phương trình theo m. Giải 2 a) Phương trình có nghiệm ' 0 m 1 7m2 0 (đúng với mọi m). Vậy với mọi giá trị của m phương trình luôn có nghiệm. b) Gọi x1 và x2 là nghiệm của phương trình. 2 1 m x1 x2 S 7 Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: (I) . m2 x x P 1 2 7 2 2 2 Theo bài, ta có hệ thức: x1 x2 = x1 x2 2x1x2 (II). Thay (I) vào (II), ta có: 2 2 2 2 2 2 1 m m 18m 8m 4 x1 x2 2. . 7 7 49 Ví dụ 2. (Bài 44/SBT-Trang 44):
10. 2 Cho phương trình x - 6x + m = 0. Tính giá trị của m, biết rằng phương trình có hai nghiệm x 1, x2 thỏa mãn điều kiện x1 x2 4 . Giải Phương trình có hai nghiệm x1, x2 khi và chỉ khi: 2 ' 0 3 m 9 m 0 m 9. x1 x2 6 (1) Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: x1x2 m (2) Theo bài: x1 x2 4 (3). Giả hệ gồm (1) và (3), ta được: 2x1 10 x1 5 x2 6 x1 6 5 1. Thay x1 = 5, x2 = 1 vào (2), ta có: 5.1 = m m = 5 (thỏa mãn điều kiện) Vậy với m = 5 thì x1 x2 4 . Ví dụ 3. Cho phương trình: x 2 - 2(m +1)x + 2m = 0 (1) (với ẩn là x ). a) Giải phương trình (1) khi m =1. b) Chứng minh phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. c) Gọi hai nghiệm của phương trình (1) là x 1; x2. Tìm giá trị của m để x1; x2 là độ dài hai cạnh của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 12 . Giải a) Khi m = 1 ta có phương trình x2 – 4x + 2 = 0 . Giải phương trình được x1 2 2; x2 2 2 b) Ta có ' m2 1 0 với mọi m. Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt. x1 x2 2(m 1) (1) c) Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1x2 2m (2) Theo giả thiết: x 1, x2 là độ dài hai cạnh của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 12 nên 2 2 x1 > 0, x2 > 0 m > 0 và x1 x1 12 (x1 x2 ) 2x1x2 12(3) Thay (1), (2) vào (3), được: m2 + m – 2 = 0 m = 1 (thỏa mãn); m = - 2 (loại) Vậy m = 1. Ví dụ 4. Cho phương trình x2 – 2(m – 1)x + 2m – 4 = 0 (có ẩn số là x). a) Chứng minh rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt. 2 2 b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình đã cho. Tìm giá trị nhỏ nhất của y = x1 x2 Giải 2 2 a) Ta có ' m 1 2m 4 m2 2m 1 2m 4 m 2 1 0 với mọi m. Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt. x1 x2 2(m 1) 2m 2 (1) b) Theo hệ thức Vi-ét, ta có: x1x2 2m 4 (2) 2 2 2 Theo bài: y = x1 x2 = x1 x2 2x1x2 (3) Thay (1) và (2) vào (3), ta có: 2 2 y = 2m 2 2 2m 4 4m2 12m 12 2m 3 3.