Đề cương ôn tập Toán 9 - Trường THCS Đông Hải

Nội dung text: Đề cương ôn tập Toán 9 - Trường THCS Đông Hải

1. Đề cương ơn tập Tốn 9 CHỦ ĐỀ : CÁC BÀI TỐN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ ax by c , a 0 (D) Cho hệ phương trình: a' x b' y c', a' 0 (D') a b • (D) cắt (D’) Hệ phương trình cĩ nghiệm duy nhất. a' b' a b c • (D) // (D’) Hệ phương trình vơ nghiệm. a' b' c' a b c • (D)  (D’) Hệ phương trình cĩ vơ số nghiệm. a' b' c' II. BÀI TẬP VẬN DỤNG x y m Bài tập 1: Cho hệ phương trình (1) 2x my 0 1. Giải hệ phương trình (1) khi m = –1 . 2. Xác định giá trị của m để: a) x = 1 và y = 1 là nghiệm của hệ (1). b) Hệ (1) vơ nghiệm. 3. Tìm nghiệm của hệ phương trình (1) theo m. 4. Tìm m để hệ (1) cĩ nghiệm (x, y) thỏa: x + y = 1. HD: 1. Khi m = – 1, hệ (1) cĩ nghiệm x = 1; y = 2. 2a) Hệ (1) cĩ nghiệm x = 1 và y = 1 khi m = 2. a b c 1 1 m 2b) Hệ (1) vơ nghiệm khi: . a' b' c' 2 m 0 1 1 2 m m 2 m = – 2: Hệ (1) vơ nghiệm. 1 m m 0 2 0 m2 2m 3. Hệ (1) cĩ nghiệm: x = ; y = . m 2 m 2 m2 2m 4. Hệ (1) cĩ nghiệm (x, y) thỏa: x + y = 1 + = 1 m 2 m 2 m2 + m – 2 = 0 m 1(thỏa ĐK cónghiệm) . m 2(khôngthỏa ĐK cónghiệm) Vậy khi m = 1, hệ( 1 cĩ nghiệm (x,y) thỏa: x + y = 1. x y k 2 Bài tập 2: Cho hệ phương trình (1) 2x 4y 9 k 1. Giải hệ (1) khi k = 1. 2. Tìm giá trị của k để hệ (1) cĩ nghiệm là x = – 8 và y = 7. 3. Tìm nghiệm của hệ (1) theo k. HD: 1. Khi k = 1, hệ (1) cĩ nghiệm x = 2; y = 1. 2. Hệ (1) cĩ nghiệm x = –8 và y = 7 khi k = – 3 . 5k 1 5 3k 3. Hệ (1) cĩ nghiệm: x = ; y = . 2 2 Trường THCS Đơng Hải 1
2. Đề cương ơn tập Tốn 9 x y 3 Bài tập 3: Cho hệ phương trình (1) 2x my 1 1. Giải hệ phương trình (1) khi m = –7 . 2. Xác định giá trị của m để: a) x = – 1 và y = 4 là nghiệm của hệ (1). b) Hệ (1) vơ nghiệm. 3. Tìm nghiệm của hệ phương trình (1) theo m. HD: 1. Khi m = – 7, hệ (1) cĩ nghiệm x = 4; y = – 1. 3 2a) Hệ (1) cĩ nghiệm x = –1 và y = 4 khi m = . 4 2b) Hệ (1) vơ nghiệm khi: m = – 2. 3m 1 5 3. Hệ (1) cĩ nghiệm: x = ; y = . m 2 m 2 mx 2y 1 Bài tập 4: Cho hệ phương trình (1) 2x 3 y 1 1. Giải hệ phương trình (1) khi m = 3 . 1 2 2. Tìm m để hệ phương trình cĩ nghiệm x = và y = . 2 3 3. Tìm nghiệm của hệ phương trình (1) theo m. 1 5 HD: 1. Khi m = 3, hệ (1) cĩ nghiệm x = ; y = . 13 13 1 2 2 2a) Hệ (1) cĩ nghiệm x = và y = khi m = . 2 3 3 2b) Hệ (1) vơ nghiệm khi: m = –2. 1 m 2 3. Hệ (1) cĩ nghiệm: x = ; y = . 3m 4 3m 4 x y 4 Bài tập 5 : Cho hệ phương trình (1) 2x 3y m 1. Giải hệ phương trình (1) khi m = –1. x 0 2. Tìm m để hệ (1) cĩ nghiệm (x; y) thỏa . y 0 HD: 1. Khi m = –1, hệ(1) cĩ nghiệm: x = 13 và y = – 9. 2. Tìm: • Nghiệm của hệ (1) theo m: x = 12 – m ; y = m – 8 . x 0 12 m 0 m 12 • Theo đề bài: m < 8. y 0 m 8 0 m 8 2x y 3m 1 Bài tập 6: Cho hệ phương trình 3x 2y 2m 3 1. Giải hệ phương trình khi m = – 1. x 1 2. Với giá trị nào của m thì hệ pt cĩ nghiệm (x; y) thỏa . y 6 HD: 1. Khi m = – 1 , hệ pt cĩ nghiệm: x = 1 và y = – 4. 2. Tìm: • Nghiệm của hệ (1) theo m: x = 4m + 5 ; y = – 9 – 5m . x 1 m 1 • Theo đề bài: – 3 < m < – 1 . y 6 m 3 Trường THCS Đơng Hải 2
3. Đề cương ơn tập Tốn 9 2mx y 5 Bài tập 7: Cho hệ phương trình : (1) mx 3y 1 1. Giải hệ (1) khi m = 1. 2. Xác định giá trị của m để hệ (1): a) Cĩ nghiệm duy nhất và tìm nghiệm duy nhất đĩ theo m. b) Cĩ nghiệm (x, y) thỏa: x – y = 2. HD: 1. Khi m = 1, hệ (1) cĩ nghiệm: x = – 2 ; y = 1. 2 x 2a) Khi m 0, hệ (1) cĩ nghiệm: m . y 1 2 2b) m = . 3 mx 2 y m Bài tập 8 : Cho hệ phương trình : ( m là tham số) (I). 2x y m 1 a) Khi m = – 2, giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng. b) Tính giá trị của tham số m để hệ phương trình (I) cĩ nghiệm duy nhất và tính nghiệm duy nhất đĩ theo m. 2 1 HD: a) Khi m = – 2, hệ (I) cĩ nghiệm: x = ; y = . 3 3 b) • Hệ (I) cĩ nghiệm duy nhất khi m 4. 3m 2 m2 3m • Khi đĩ hệ(I) cĩ nghiệm duy nhất: x ; y m 4 m 4 CHỦ ĐỀ : VẼ ĐỒ THỊ & TÌM TỌA ĐỘ GIAO ĐIỂM CỦA (P): y = ax2 VÀ (D): y = ax + b (a 0) I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1.Hàm số y = ax2(a 0): Hàm số y = ax2(a 0) cĩ những tính chất sau: • Nếu a > 0 thì hàm số đồng biến khi x > 0 và nghịch biến khi x < 0. • Nếu a 0. Đồ thị của hàm số y = ax2(a 0): • Là một Parabol (P) với đỉnh là gốc tọa độ 0 và nhận trục Oy làm trục đối xứng. • Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hồnh. 0 là điểm thấp nhất của đồ thị. • Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hồnh. 0 là điểm cao nhất của đồ thị. Vẽ đồ thị của hàm số y = ax2 (a 0): • Lập bảng các giá trị tương ứng của (P). • Dựa và bảng giá trị vẽ (P). 2. Tìm giao điểm của hai đồ thị :(P): y = ax2(a 0) và (D): y = ax + b: • Lập phương trình hồnh độ giao điểm của (P) và (D): cho 2 vế phải của 2 hàm số bằng nhau đưa về pt bậc hai dạng ax2 + bx + c = 0. • Giải pt hồnh độ giao điểm: + Nếu > 0 pt cĩ 2 nghiệm phân biệt (D) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt. + Nếu = 0 pt cĩ nghiệm kép (D) và (P) tiếp xúc nhau. + Nếu < 0 pt vơ nghiệm (D) và (P) khơng giao nhau. 2 3. Xác định số giao điểm của hai đồ thị :(P): y = ax (a 0) và (Dm) theo tham số m: Trường THCS Đơng Hải 3
4. Đề cương ơn tập Tốn 9 • Lập phương trình hồnh độ giao điểm của (P) và (D m): cho 2 vế phải của 2 hàm số bằng nhau đưa về pt bậc hai dạng ax2 + bx + c = 0. • Lập (hoặc ' ) của pt hồnh độ giao điểm. • Biện luận: + (Dm) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt khi > 0 giải bất pt tìm m. + (Dm) tiếp xúc (P) tại 1 điểm = 0 giải pt tìm m. + (Dm) và (P) khơng giao nhau khi < 0 giải bất pt tìm m. II. BÀI TẬP VẬN DỤNG x2 Bài tập 1: Cho hai hàm số y = cĩ đồ thị (P) và y = -x + m cĩ đồ thị (Dm). 2 1. Với m = 4, vẽ (P) và (D4) trên cùng một hệ trục tọa độ vuơng gĩc Oxy. Xác định tọa độ các giao điểm của chúng. 2. Xác định giá trị của m để: a) (Dm) cắt (P) tại điểm cĩ hồnh độ bằng 1. b) (Dm) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt. c) (Dm) tiếp xúc (P). Xác định tọa độ tiếp điểm. HD: 1. Tọa độ giao điểm: (2 ; 2) và (– 4 ; 8). 3 2a). m = . 2 1 2b) ' = 1 + 2m > 0 m . 2 1 1 2c) m = tọa độ tiếp điểm (-1 ; ). 2 2 2 Bài tập 2: Cho hai hàm số y = – 2x cĩ đồ thị (P) và y = – 3x + m cĩ đồ thị (Dm). 1. Khi m = 1, vẽ (P) và (D1) trên cùng một hệ trục tọa độ vuơng gĩc Oxy. Xác định tọa độ các giao điểm của chúng. 2. Xác định giá trị của m để: 1 a) (Dm) đi qua một điểm trên (P) tại điểm cĩ hồnh độ bằng . 2 b) (Dm) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt. c) (Dm) tiếp xúc (P). Xác định tọa độ tiếp điểm. 1 1 HD: 1. Tọa độ giao điểm: ( ; ;) và (1 ; – 2). 2 2 2a). m = – 2. 9 2b) m < . 8 9 3 9 2c) m = tọa độ tiếp điểm ( ; ). 8 4 8 Bài tập 3: Cho hàm số y = – 2x2 cĩ đồ thị (P). 1. Vẽ (P) trên một hệ trục tọa độ vuơng gĩc.. 2 2. Gọi A( ; 7 ) và B(2; 1). 3 a) Viết phương trình đường thẳng AB. b) Xác định tọa độ các giao điểm của đường thẳng AB và (P). 3. Tìm điểm trên (P) cĩ tổng hồnh độ và tung độ của nĩ bằng – 6. HD: 2a). Đường thẳng AB cĩ phương trình y = = 3x – 5. 5 25 2b). Tọa độ giao điểm: (1;– 2) và ( ; ). 2 2 3. Gọi M(xM; yM) là điểm trên (P) thỏa đề bài, ta cĩ: xM + yM = – 6. 2 2 Mặt khác: M(xM; yM) (P) yM = – 2 xM nên: xM + yM = – 6 xM + (– 2 xM ) = – 6 Trường THCS Đơng Hải 4
5. Đề cương ơn tập Tốn 9 x1 2 y1 8 2 – 2 xM + xM + 6 = 0 3 9 . x y 2 2 2 2 3 9 Vậy cĩ 2 điểm thỏa đề bài: M1(2; – 8 ) và M2( ; ). 2 2 3 1 Bài tập 4: Cho hàm số y = x2 cĩ đồ thị (P) và y = – 2x + cĩ đồ thị (D). 2 2 1. Vẽ (P) và (D) trên cùng một hệ trục tọa độ vuơng gĩc. 2. Xác định tọa độ các giao điểm của (P) và (D). 3. Tìm tọa độ những điểm trên (P) thỏa tính chất tổng hồnh độ và tung độ của điểm đĩ bằng – 4. 1 1 3 HD: 2. Tọa độ giao điểm: ( ; ) và (1 ; ). 3 6 2 3. Gọi M(xM; yM) là điểm trên (P) thỏa đề bài, ta cĩ: xM + yM = – 4. 3 2 3 2 Mặt khác: M(xM; yM) (P) yM = x nên: xM + yM = – 4 xM +( x ) = – 4 2 M 2 M 4 8 3 2 x1 y1 x + xM + 4 = 0 3 3 . 2 M x2 2 y2 6 4 8 Vậy cĩ 2 điểm thỏa đề bài: M1( ; ) và M2(2; – 6). 3 3 2 5 Bài tập 5: Cho hàm số y = x2 cĩ đồ thị (P) và y = x + cĩ đồ thị (D). 3 3 1. Vẽ (P) và (D) trên cùng một hệ trục tọa độ vuơng gĩc. 2. Xác định tọa độ các giao điểm của (P) và (D). xA xB 3. Gọi A là điểm (P) và B là điểm (D) sao cho . Xác định tọa độ của A và B. 11yA 8yB 2 5 25 HD: 2. Tọa độ giao điểm: ( 1 ; ) và ( ; ). 3 2 6 3. Đặt xA = xB = t. 2 2 2 2 • A(xA; yA) (P) yA = x = t . 3 A 3 5 5 • B(xB; yB) (D) yB = xB + = t + 3 3 t1 2 2 2 5 22 2 40 • Theo đề bài:11yA 8yB 11. t = 8.( t + ) t 8t 0 10 . 3 3 3 3 t 2 11 8 8 x 2 y A(2; ) A A 3 3 • Với t = 2 . 11 11 x 2 y B(2; ) B B 3 3 10 200 10 200 x y A( ; ) 10 A 11 A 363 11 363 • Với t = . 11 10 25 10 25 x y B( ; ) B 11 B 33 11 33 Bài tập 6: Trong mặt phẳng tọa độ vuơng gĩc Oxy, cho hai điểm A(1; –2) và B(–2; 3). 1. Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A, B. 2. Gọi (P) là đồ thị của hàm số y = –2x2. a) Vẽ (P) trên mặt phẳng tọa độ đã cho. Trường THCS Đơng Hải 5
6. Đề cương ơn tập Tốn 9 b) Xác định tọa độ các giao điểm của (P) và (d). 5 1 HD: 1. Phương trình đường thẳng AB: y = x . 3 3 1 1 2. Tọa độ giao điểm: (1; –2) và ( ; ). 6 18 Bài tập 7: Vẽ đồ thị (P) của hàm số y = –2x2 trên mặt phẳng tọa độ vuơng gĩc Oxy. 1. Gọi (D) là đường thẳng đi qua điểm A(–2; –1) và cĩ hệ số gĩc k. a) Viết phương trình đường thẳng (D). b) Tìm k để (D) đi qua B nằm trên (P) biết hồnh độ của B là 1. HD: 2a). • Phương trình đường thẳng (D) cĩ dạng tổng quát: y = ax + b. • (D) cĩ hệ số gĩc k (D): y = kx + b. • (D) đi qua A(–2; –1) –1 = k.( –2) + b b = 2k – 1. • Phương trình đường thẳng (D): y = kx + 2 k – 1. 2b) • Điểm B(xB; yB) (P) B(1; – 2). 1 • (D) đi qua B(1; –2) nên: –2 = k.1 +2k – 1 k = . 3 CHỦ ĐỀ : CÁC BÀI TỐN VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Giải phương trình bậc hai dạng ax2 + bx + c = 0 (a 0) (1) a) Nhẩm nghiệm: x1 1 • a + b +c = 0 pt (1) cĩ 2 nghiệm: c . x 2 a x1 1 • a – b +c = 0 pt (1) cĩ 2 nghiệm: c . x 2 a b) Giải với ' : b Nếu b = 2b’ b’ = ' = (b’)2 – ac. 2 b' ' b' ' • Nếu ' > 0 phương trình cĩ 2 nghiệm phân biệt: x ; x 1 a 2 a b' • Nếu ' = 0 phương trình cĩ nghiệm kép: x x . 1 2 a • Nếu ' < 0 phương trình vơ nghiệm. c) Giải với : Tính : = b2 – 4ac. b b • Nếu > 0 phương trình cĩ 2 nghiệm phân biệt: x ; x 1 2a 2 2a b • Nếu = 0 phương trình cĩ nghiệm kép: x x . 1 2 2a • Nếu < 0 phương trình vơ nghiệm. 2. Hệ thức Vi ét và ứng dụng: b S x x 1 2 2 a a) Định lý: Nếu x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình ax + bx + c = 0 (a 0) thì ta cĩ: . c P x x 1 2 a Trường THCS Đơng Hải 6
7. Đề cương ơn tập Tốn 9 u v S b) Định lý đảo: Nếu u.v P u, v là 2 nghiệm của phương trình x2 – Sx + P = 0 (ĐK: S2 – 4P 0). * Một số hệ thức khi áp dụng hệ thức Vi-ét: 2 2 2 2 • Tổng bình phương các nghiệm: x1 x2 (x1 x2 ) 2x1x2 = S – 2P. 1 1 x x S • Tổng nghịch đảo các nghiệm: 1 2 . x1 x2 x1x2 P 2 2 2 1 1 x1 x2 S 2P • Tổng nghịch đảo bình phương các nghiệm: 2 2 2 2 . x1 x2 (x1x2 ) P 2 2 2 • Bình phương của hiệu các nghiệm: (x1 x2 ) (x1 x2 ) 4x1x2 = S – 4P. 3 3 3 3 • Tổng lập phương các nghiệm: x1 x2 (x1 x2 ) 3x1x2 (x1 x2 ) = S – 3PS Ví dụ: Cho phương trình x2 – 12x + 35 = 0. Hãy tính giá trị của các biểu thức sau: 2 2 1 1 2 3 3 a) x1 x2 . b) . c) (x1 x2 ) d) x1 x2 x1 x2 Giải: b S x x 12 1 2 a Phương trình cĩ ' = 1 > 0 pt cĩ 2 nghiệm, áp dụng hệ thức Vi-ét cho pt (1): . c P x x 35 1 2 a 2 2 2 2 2 a) x1 x2 (x1 x2 ) 2x1x2 = S – 2P = 12 – 2.35 = 74. 1 1 x x S 12 b) 1 2 = . x1 x2 x1x2 P 35 2 2 2 2 c) (x1 x2 ) (x1 x2 ) 4x1x2 S -4P = 12 – 4.35 = 4. 3 3 3 3 3 d) x1 x2 (x1 x2 ) 3x1x2 (x1 x2 ) = S – 3PS = 12 – 3.35.12 = 468. 3.Tìm hệ thức giữa hai nghiệm độc lập đối với tham số:(Tìm hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm x 1, x2 khơng phụ thuộc vào tham số). * Phương pháp giải: • Tìm điều kiện để phương trình đã cho cĩ nghiệm ( ' 0 ; 0 hoặc a.c < 0). b S x x 1 2 a • Lập hệ thức Vi-ét cho phương trình . c P x x 1 2 a • Khử tham số (bằng phương pháp cộng đại số) tìm hệ thức liên hệ giữa S và P Đĩ là hệ thức độc lập với tham số. Ví dụ: Cho phương trình 2x2 + (2m – 1)x + m – 1 = 0 (1) (m là tham số). 1. CMR: Phương trình (1) luơn cĩ nghiệm với mọi m. 2. Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của pt (1). Tìm hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm khơng phụ thuộc vào m. Giải: 1. Phương trình (1) cĩ = b2 – 4ac = + (2m – 1)2 – 4.2.(m – 1) = 4m2 – 12m + 9 = (2m – 3)2 0,  m. Vậy phương trình (1) luơn cĩ nghiệm với mọi m. 2. b 2m 1 S x x 1 2 a 2 2S 2m 1 • Áp dụng hệ thức Vi-ét cho phương trình (1): c m 1 2P m 1 P x x 1 2 a 2 2S 2m 1 2S + 4P = -1. Hay: 2(x1 + x2) + 4x1x2 = -1 : Đây là hệ thức cần tìm. 4P 2m 2 Trường THCS Đơng Hải 7
8. Đề cương ơn tập Tốn 9 4. Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng – Lập phương trình bâc hai khi biết hai nghiệm của nĩ: * Phương pháp giải: u v S • Nếu 2 số u và v c ĩ: u, v là hai nghiệm của phương trình: x2 – Sx + P = 0 (*). u.v P • Giải pt (*): u x1 u x2 + Nếu ' > 0 (hoặc > 0) pt (*) cĩ 2 nghiệm phân biệt x1, x2. Vậy hoặc . v x2 v x1 b' b' + Nếu ' = 0 (hoặc = 0) pt (*) cĩ nghiệm kép x1 = x2 = . Vậy u = v = . a a + Nếu ' < 0 (hoặc < 0) pt (*) vơ nghiệm. Vậy khơng cĩ 2 số u, v thỏa đề bài. Ví dụ 1: Tìm 2 số u,v biết u + v = 11 và u.v = 28 Giải: Theo đề bài u, v là hai nghiệm của phương trình: x2 – Sx + P = 0 x2 – 11x + 28 = 0(*) x1 7 Phương trình (*) cĩ = 9 > 0 3 . x2 4 u 7 u 4 Vậy: hay v 4 v 7 Ví dụ 2: Cho hai số a = 3 +1 và b = 3 – 3 . Viết phương trình bậc hai cĩ hai nghiệm là a và b. Giải: • a + b = ( 3 +1) + (3 – 3 ) = 4. • a.b = ( 3 +1). (3 – 3 ) = 2 3 . Suy ra: a, b là 2 nghiệm của phương trình: x2 – Sx + P = 0 x2 – 4x + 2 3 = 0: Đây là pt cần tìm. 5. Chứng minh phương trình bậc hai luơn cĩ hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của tham số m: * Phương pháp giải: • Lập biệt thức ' (hoặc ). • Biến đổi ' đưa về dạng : ' = (A B)2 + c > 0,  m (với c là một số dương) • Kết luận: Vậy phương trình đã cho luơn cĩ hai nghiệm phân biệt với mọi tham số m. 6. Chứng minh phương trình bậc hai luơn cĩ nghiệm với mọi giá trị của tham số m: * Phương pháp giải: • Lập biệt thức ' (hoặc ). • Biến đổi ' đưa về dạng : ' = (A B)2 0,  m. • Kết luận: Vậy phương trình đã cho luơn nghiệm với mọi tham số m. 7. Biện luận phương trình bậc hai theo tham số m: * Phương pháp giải: • Lập biệt thức ' (hoặc ). • Biện luận: + Phương trình cĩ 2 nghiệm phân biệt khi: ' > 0 giải bất pt tìm tham số m kết luận. + Phương trình cĩ nghiệm kép khi ' = 0 giải pt tìm tham số m kết luận. + Phương trình vơ nghiệm khi ' < 0 giải bất pt tìm tham số m kết luận. + Phương trình cĩ nghiệm khi ' 0 giải bất pt tìm tham số m kết luận. * Phương trình cĩ 2 nghiệm trái dấu khi: a.c < 0 giải bất pt tìm tham số m kết luận. 8. Xác định giá trị nhỏ nhất của biểu thức: * Phương pháp giải: • Đưa biểu thức P cần tìm về dạng: P = (A B)2 + c P = (A B)2 + c c. • Giá trị nhỏ nhất của P: Pmin = c khi A B = 0 giải pt tìm tham số m kết luận. 9. Xác định giá trị lớn nhất của biểu thức: * Phương pháp giải: • Đưa biểu thức Q cần tìm về dạng: Q = c – (A B)2 Q = c – (A B)2 c Giá trị nhỏ nhất của Q: Qmax = c khi A B = 0 giải pt tìm tham số m kết luận. Trường THCS Đơng Hải 8
9. Đề cương ơn tập Tốn 9 II. BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài tập 1: Cho phương trình bậc hai x2 – (m – 3)x – 2m = 0 (1). 1. Giải phương trình (1) khi m = – 2. 2. CMR: Phương trình (1) luơn cĩ hai nghiệm phân biệt với mọi m. 3. Tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2 khơng phụ thuộc vào m. HD: 1. Khi m = –2, ta cĩ phương trình: x2 + 5x + 4 = 0, pt cĩ a – b + c = 1 –5 + 4 = 0 x1 1 c 4 x 4 2 a 1 Vậy khi m = – 2, phương trình (1) cĩ 2 nghiệm phân biệt: x1 = –1, x2 = – 4. 2. = m2 + 2m + 9 = (m + 1)2 + 8 > 0, m . 3. Hệ thức: 2S + P = – 6 2(x1 + x2) + x1x2 = – 6. Bài tập 2: Cho phương trình bậc hai x2 – (m + 1)x + m = 0 (1). 1. Giải phương trình (1) khi m = 3. 2. CMR: Phương trình (1) luơn cĩ nghiệm với mọi m. 3. Trong trường hợp (1) cĩ hai nghiệm phân biệt.Tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2 khơng phụ thuộc vào m. HD: 1. Khi m = 3, ta cĩ phương trình: x2 – 4x + 3 = 0, pt cĩ a + b + c = 1 +(–4) + 3 = 0 x1 1 c 3 . x 3 2 a 1 Vậy khi m = 3, phương trình (1) cĩ 2 nghiệm phân biệt: x1 = 1, x2 = 3. 2. = (m – 1)2 0, m . 3. m 1 2 •ĐK để pt (1) cĩ 2 nghiệm phân biệt: (m – 1) > 0 |m – 1| > 0 . m 1 • Hệ thức: S – P = 1 x1 + x2 – x1x2 = 1. Bài tập 3 : Cho phương trình 2x2 + (2m – 1)x + m – 1 = 0 (m là tham số) (1) 1. Giải phương trình (1) khi m = 2. 2. CMR: Phương trình (1) luơn cĩ nghiệm với mọi m. 3. Trong trường hợp (1) cĩ hai nghiệm phân biệt.Thiết lập hệ thức liên hệ giữa x1, x2 độc lập với m. 1 HD: 1. Khi m = 2, phương trình (1) cĩ 2 nghiệm phân biệt: x1 = –1, x2 = . 2 2. = (2m – 3)2 0, m . 3. 3 m 2 •ĐK để pt (1) cĩ 2 nghiệm phân biệt: (2m – 3) 2 > 0 |2m – 3| > 0 . 3 m 2 • Hệ thức: 2S + 4P = 1 2( x1 + x2) + 4 x1x2 = 1. Bài tập 4 : Cho phương trình x2 – 2(m – 1)x + 2m – 3 = 0 (m là tham số) (1) 1. Giải phương trình (1) khi m = 5. 2. CMR: Phương trình (1) luơn cĩ nghiệm với mọi m. 3. Trong trường hợp (1) cĩ hai nghiệm phân biệt.Thiết lập hệ thức liên hệ giữa x1, x2 độc lập với m. 4. Tìm m để phương trình (1) cĩ 2 nghiệm trái dấu. HD: 1. Khi m = 5, phương trình (1) cĩ 2 nghiệm phân biệt: x1 = 1, x2 = 7. 2. = (m – 2)2 0, m . m 2 2 3. ĐK để pt (1) cĩ 2 nghiệm phân biệt: (m – 2) > 0 |m – 2| > 0 . m 2 • Hệ thức: S – P = 1 x1 + x2 – x1x2 = 1. 3 4. Phương trình (1) cĩ 2 nghiệm trái dấu khi a.c < 0 1.(2m – 3) < 0 m < 2 Trường THCS Đơng Hải 9
10. Đề cương ơn tập Tốn 9 Bài tập 5 : Cho phương trình bậc hai x2 –2(m – 1)x + m2 = 0 (1). 1. Tìm m để: a) Pt (1) cĩ 2 nghiệm phân biệt. b) Pt (1) cĩ một nghiệm là – 2. 2 2. Giả sử x1, x2 là 2 nghiệm của pt (1). CMR: (x1 – x2) + 4(x1 + x2) + 4 = 0. HD: 1a. • Phương trình (1) cĩ ' = 1 – 2m. 1 • Phương trình (1) cĩ hai nghiệm phân biệt khi ' > 0 1 – 2m > 0 m < . 2 m1 0 1b. Pt (1) cĩ một nghiệm là – 2 khi: (– 2)2 –2(m – 1)(–2) + m2 = 0 m2 + 4m = 0 . m2 4 Vậy khi m = 0 hoặc m = – 4 thì pt (1) cĩ một nghiệm là – 2. S x x 2m 2 2. Áp dụng hệ thức Vi-ét cho pt (1): 1 2 2 P x1x2 m 2 2 Ta cĩ: (x1 – x2) + 4(x1 + x2) + 4 = (x1 + x2) – 4x1x2 + 4(x1 + x2) + 4 = (2m – 2)2 – 4m2 + 4(2m – 2) + 4 = 4m2 – 8m + 4 – 4m2 + 8m – 8 + 4 = 0 (đpcm). Bài tập 6 : Cho phương trình bậc hai x2 –2(m + 1)x + m – 4 = 0 (1). 1. Giải phương trình (1) khi m = –2. 2. CMR: m , phương trình (1) luơn cĩ hai nghiệm phân biệt 3. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của pt (1). Chứng minh biểu thức: A = x1(1 – x2) + x2(1 – x1) khơng phụ thuộc vào m. HD: 1. Khi m = –2 x1 = 1 7 ; x2 = 1 7 . 2 1 19 2. ' = m2 + m + 5 = m > 0, m . 2 4 S x1 x2 2m 2 3. Áp dụng hệ thức Vi-ét cho pt (1): P x1x2 m 4 Theo đề bài: A = x1(1 – x2) + x2(1 – x1) = x1 – x1x2 + x2 – x1x2 = (x1 + x2) – 2x1x2 = (2m + 2) – 2(m – 4) = 10. Vậy A = 10 khơng phụ thuộc vào m. Bài tập 7: Cho phương trình bậc hai x2 –2(m + 1)x + (2m – 4) = 0 (1). 1. Giải phương trình (1) khi m = – 2. 2. CMR: Với mọi m, phương trình (1) luơn cĩ hai nghiệm phân biệt. 2 2 3. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của (1). Tính A = x1 x2 theo m. 4. Tìm giá trị của m để A đạt giá trị nhỏ nhất. Bài tập 8: Cho phương trình bậc hai x2 – (m – 1)x + 2m – 7 = 0 (1). 1. Giải phương trình (1) khi m = –1. 2. CMR: Với mọi m, phương trình (1) luơn cĩ hai nghiệm phân biệt. 3. Tìm m để phương trình (1) cĩ 2 nghiệm trái dấu. 4. Thiết lập mối quan hệ giữa 2 nghiệm x1, x2 khơng phụ thuộc và m. 2 2 5. Tìm m để x1 x2 = 10. HD: 1. Khi m = –1 x1 = 1 10 ; x2 = 1 10 . 2. = m2 – 10m + 29 = (m – 5)2 + 4 > 0, m . 7 3. Phương trình (1) cĩ 2 nghiệm trái dấu khi a.c < 0 1.(2m – 7) < 0 m < . 2 4. Hệ thức cần tìm: 2S – P =5 2(x1 +x2) – x1x2 = 5. 2 2 2 5. x1 x2 = 10 m – 6m + 5 = 0 m = 1 hoặc m = 5. Trường THCS Đơng Hải 10