Đề thi chọn học sinh giỏi cấp Tỉnh môn Toán 9 năm học 2017-2018 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp Tỉnh môn Toán 9 năm học 2017-2018 (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH GIA LAI NĂM HỌC 2017 – 2018 Môn thi: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm 01 trang) Ngày thi: 13/03/2018 Câu 1 (3,0 điểm). 1 1 1 1 2017 Cho A  . So sánh A với . 22 32 42 20182 2018 Câu 2 (3,0 điểm). ïì x2 + y2 + 4y = 1 Giải hệ phương trình íï . ï îï 3x + xy + y = 3 Câu 3 (6,0 điểm). 4 3 2 2 1. Tìm các cặp số nguyên x; y thỏa mãn x 2x 3x 2x y y 0. 2. Có bao nhiêu số nguyên dương có 6 chữ số abcdef sao cho 100 a d 10 b e c f chia hết cho 1001? Câu 4 (6,0 điểm). Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) . P di chuyển trên cung BC chứa A của (O) . I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC . Q là tâm đường tròn nội tiếp tam giác PBC. 1. Biểu diễn số đo góc BIC theo số đo của góc BAC. 2. Chứng minh rằng B; I; Q; C cùng nằm trên một đường tròn. 3. Trên tia BQ; CQ lần lượt lấy các điểm M; N sao cho BM = BI ; CN = CI . Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định khi P di chuyển trên cung BC chứa A của (O). Câu 5 (2,0 điểm). Xét một thanh gỗ ngang có hai đầu. Một con kiến đi từ đầu này đến đầu kia của thanh thì mất 5 phút. Khi đi đến một trong hai đầu thì kiến sẽ rơi xuống đất. Bây giờ giả sử trên thanh gỗ đó có 5 con kiến và đi cùng với tốc độ như vậy nhưng về các hướng khác nhau. Nếu có hai con kiến nào đi ngược hướng và đụng đầu nhau thì chúng lập tức quay ngược lại và đi tiếp. (Giả sử rằng kích thước cũng như thời gian quay đầu của các con kiến không đáng kể). 1. Hãy lý luận để chứng tỏ rằng tất cả các con kiến thể nào cũng sẽ rơi hết xuống đất. 2. Cần tối thiểu bao nhiêu phút để chắc chắn rằng cả 5 con kiến đều rơi xuống đất? .. Hết .. Lưu ý: - Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. - Giám thị coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh ..; số báo danh. ... .; phòng thi số
2. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH GIA LAI NĂM HỌC 2017 – 2018 Môn thi: TOÁN HƯỚNG DẪN CHẤM Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề). (Hướng dẫn này gồm 05 trang) Ngày thi: 13/03/2018 ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM CHÍNH THỨC MÔN TOÁN Câu 1 (3,0 điểm). 1 1 1 1 2017 Cho A  . So sánh A với . 22 32 42 20182 2018 Đáp án Điểm 1 1 1 1 1 1 1 1 Ta có:   22 32 42 20182 1.2 2.3 3.4 2017.2018 1,5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2017  =  1 1.2 2.3 3.4 2017.2018 1 2 2 3 3 4 2017 2018 2018 2018 1,5 2017 Vậy A < . 2018 Câu 2 (3,0 điểm). ïì x2 + y2 + 4y = 1 Giải hệ phương trình íï . ï îï 3x + xy + y = 3 Đáp án Điểm Nhân hai vế của phương trình hai trong hệ cho 2 rồi cộng vế theo vế với phương trình một trong hệ ta được phương trình 1,0 x2 y2 4y 6x 2xy 2y 7 Tiếp tục biến đổi ta được x y 2 6 x y 7 0 0,5 x y 1 x y 7 • Ta xét trường hợp x y 1 y 1 x. Khi đó ta có phương trình tìm x sau 3x x 1 x 1 x 3 x2 3x 2 0 0,75 x 1 x 2 Với x 1 thì y 0; với x 2 thì y 1.
3. • Ta xét trường hợp x y 7 y 7 x Khi đó phương trình xác định x là 3x x 7 x 7 x 3 0,5 x2 5x 10 0 Phương trình xác định x vô nghiệm nên trong trường hợp này hệ vô nghiệm. Vậy hệ có hai nghiệm là: (x; y)= (1; 0), (x; y)= (2; - 1). 0,25 Câu 3: (6,0 điểm). 4 3 2 2 1. (3,0 điểm). Tìm các cặp số nguyên x; y thỏa mãn x 2x 3x 2x y y 0. Đáp án Điểm 4 3 2 2 2 2 2 2 Ta có: x 2x 3x 2x y y 0 x x 2 x x y y 0,5 2 x2 x 1 y2 y 1 (*) 0,5 2 2 2 2 Nếu y 0 thì y y y 1 (y 1) suy ra y y 1 không là số chính phương nên 0,5 không tồn tại số nguyên x, y thỏa mãn đề bài. 2 2 2 2 Nếu y 1thì (y 1) y y 1 y suy ra y y 1 không là số chính phương nên 0,5 không tồn tại số nguyên x, y thỏa mãn đề bài. 2 x 0 Nếu y 0 hoặc y 1 thì từ (*) suy ra: x x 1 1 0,5 x 1 Vậy các cặp số nguyên x;y thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 0;0 ; 0; 1 ; 1;0 ; 1; 1 0,5 2. (3,0 điểm) Có bao nhiêu số nguyên dương có 6 chữ số dạng abcdef sao cho 100 a d 10 b e c f chia hết cho 1001? Đáp án Điểm Ta có abcdef abc.1000 def abc.1001 abc def 1,0 abc.1001 100 a d 10 b e c f Nên, 100 a d 10 b e c f chia hết cho 1001 khi và chỉ khi abcdef chia hết cho 1001. Do đó, số các số cần tìm chính là số các số nguyên dương có 6 chữ số chia hết cho 1001. 1,0
4. Số nguyên dương bé nhất có 6 chữ số chia hết cho 1001 là 100100 Số nguyên dương lớn nhất có 6 chữ số chia hết cho 1001 là 999999 999999 100100 1,0 Vậy số các số nguyên dương có 6 chữ số chia hết cho 1001 là 1 900. 1001 Đáp số: có 900 số thỏa yêu cầu bài toán. Câu 4 (6,0 điểm). » Cho VABC nội tiếp đường tròn (O) . P di chuyển trên BC chứa A của (O) . I là tâm đường tròn nội tiếp VABC . Q là tâm đường tròn nội tiếp VPBC . A P O M Q I N B C K 1. Biểu diễn số đo góc BIC theo số đo của góc BAC. Đáp án Điểm · 0 · · Ta có BIC = 180 - IBC - ICB 1,0 · · o · · ABC ACB 180 - BAC BAC = 1800 - - = 1800 - = 900 + 1,0 2 2 2 2 2. Chứng minh rằng B; I; Q; C cùng nằm trên một đường tròn.
5. Đáp án Điểm · · 0 BAC Theo câu 1. Ta có BIC = 90 + 2 · 1,0 · 0 BPC Tương tự BQC = 90 + . 2 · · Hơn nữa BAC = BPC (hai góc nội tiếp chắn cùng một cung của đường tròn (O). ) · · Suy ra BQC = BIC . 1,0 Vì hai điểm A và P nằm cùng nửa mặt phẳng bờ BC và cùng nhìn đoạn BC dưới hai góc bằng nhau nên 4 điểm B; I; Q; C thuộc một đường tròn. 3. Trên tia BQ; CQ lần lượt lấy các điểm M; N sao cho BM = BI ; CN = CI . Chứng minh » rằng MN luôn đi qua một điểm cố định khi P di chuyển trên BC chứa A của (O). Đáp án Điểm IB IC BC Vì (bất đẳng thức trong tam giác) nên đường tròn (B; BI) cắt đường tròn (C; CI) IB IC BC 0,5 tại hai điểm phân biệt. Gọi K là giao điểm thứ hai của hai đường tròn (B; BI) và (C; CI). K cố định. · » · » + Góc IBM là góc ở tâm chắn cung IM và IKM là góc nội tiếp chắn cung IM của đường · 1 · tròn (B; BI) , suy ra IKM = IBM (1). 2 0,5 · » · » + Góc ICN là góc ở tâm chắn cung IN và IKN là góc nội tiếp chắn cung IN của đường tròn · 1 · (C; CI), suy ra IKN = ICN (2). 2 Theo câu 2) B; I; Q; C thuộc một đường tròn, suy ra · · º QBI = QCI (hai góc nội tiếp cùng chắn cung QI của đường tròn ngoại tiếp tứ giác QICB ) 0,5 · · hay IBM = ICN (3). · · Từ (1), (2) và (3), suy ra IKM = IKN Ta có · = · và hai tia cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ nên º . IKM IKN KM; KN IK KM KN 0,5 Vậy MN đi qua K cố định. Câu 5 (2,0 điểm).
6. Xét một thanh gỗ ngang có hai đầu. Một con kiến đi từ đầu này đến đầu kia của thanh thì mất 5 phút. Khi đi đến một trong hai đầu thì kiến sẽ rơi xuống đất. Bây giờ giả sử trên thanh gỗ đó có 5 con kiến và đi cùng với tốc độ như vậy nhưng về các hướng khác nhau. Nếu có hai con kiến nào đi ngược hướng và đụng đầu nhau thì chúng lập tức quay ngược lại và đi tiếp. (Giả sử rằng kích thước cũng như thời gian quay đầu của các con kiến không đáng kể). 3. Hãy lý luận để chứng tỏ rằng tất cả các con kiến thể nào cũng sẽ rơi hết xuống đất. Đáp án Điểm Xét con kiến ở ngoài cùng bên phải, nếu có nhiều con như vậy thì chọn một con bất kỳ. • Nếu con kiến này đi về phía phải thì nó sẽ không đụng đầu bất cứ con kiến nào, cứ thế nó đi 0,5 và sẽ bị rơi xuống đất. • Xét trường hợp con kiến này đi về phía trái. Nếu nó đụng đầu với con kiến đi ngược chiều thì nó sẽ quay về bên phải để đi tiếp, tất nhiên nó sẽ không đụng đầu với con kiến nào nữa, cứ thế nó đi và sẽ rơi xuồng đất. Trong trường hợp ngược lại, nó cứ đi về bên trái và rơi xuống đất. 0,5 • Tiếp tục lý luận như vậy cho các con kiến còn lại trên thanh gỗ, rõ ràng đến một lúc nào đó thì cả thảy 5 con kiến trên thanh ngang đều rơi xuống đất. 4. Cần ít nhất bao nhiêu thời gian để chắc chắn rằng cả 5 con kiến đều rơi xuống đất? Đáp án Điểm • Trong trường hợp “xấu nhất”, nếu có một con kiến đi từ đầu này đến đầu kia của thanh gỗ mà không đụng đầu phải con kiến nào đi ngược chiều thì phải mất 5 phút con kiến này mới rơi 0,5 xuống đất. Như vậy khoảng thời gian ít nhất để chắc chắn rằng không còn con kiến nào trên thanh ngang sẽ không nhỏ hơn 5 phút. • Ta hãy quan sát các con kiến “từ xa”, không phân biệt các con kiến với nhau, thì chúng quay đầu đi ngược lại cũng không khác gì chúng cứ tiếp tục đi: nếu chẳng hạn con kiến A đụng đầu con kiến B rồi đi ngược lại, thì cũng giống như chúng cứ tiếp tục đi nhưng ta “đổi tên” hai con kiến này cho nhau thôi. Nếu chỉ nhìn tổng thể chứ không phân biệt các con kiến, thì 0,5 việc có quay đầu lại hay không vẫn thế. Và tất nhiên nếu không cần quay đầu lại, thì thời gian tối đa cần thiết để chúng rơi xuống hết là 5 phút. Vậy khoảng thời gian cần tìm là 5 phút .