Đề thi chọn học sinh giỏi cấp Tỉnh môn Toán 9 THCS năm học 2014-2015 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp Tỉnh môn Toán 9 THCS năm học 2014-2015 (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH GIA LAI LỚP 9 THCS, NĂM HỌC 2014 – 2015 Môn thi: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề) (Đề thi gồm 01 trang) Ngày thi: 24/03/2015 Câu 1 (4,0 điểm). 1) Tìm nghiệm nguyên tố của phương trình: x2 2y2 1. 2) Xét dãy các số nguyên sau: 1;2;4; 1;7; 4;.... Trong đó kể từ số hạng thứ tư trở đi, mỗi số hạng sẽ được tính theo ba số hạng liền trước nó như sau: tổng của số hạng thứ nhất và thứ hai trừ đi số hạng thứ ba. Hãy tính số hạng thứ 2015 của dãy trên. Câu 2 (3,0 điểm). Cho các số dương a,b,c có tổng bằng 3. Chứng minh rằng: a2 6a 9 b2 6b 9 c2 6c 9 24 a2 2a 3 b2 2b 3 c2 2c 3 Câu 3 (4,0 điểm). 2 2 2x 3y y 1) Giải hệ phương trình sau: 2 2 3x y x 2) Phép toán “ * ” được định nghĩa như sau: a *b ab 3a b . a) Kiểm tra tính chất giao hoán và kết hợp của phép toán “*”. b) Tìm giá trị nhỏ nhất của số thực dương m để phương trình sau có hai nghiệm: x* x *m m 2015 Câu 4 (5,0 điểm). 1) Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H, bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng R và B·AC 0 . Tính độ dài BC và AH theo R và 0 . 2) Cho tam giác nhọn ABC có AB AC và nội tiếp trong đường tròn tâm O . Kẻ đường cao AD và đường kính AA'. Gọi E là chân đường vuông góc kẻ từ B xuống đường kính AA' và M là trung điểm BC . Chứng minh MD ME . Câu 5 (4,0 điểm). 1) Mỗi ô của bàn cờ hình chữ nhật có 3 9 ô được sơn màu đỏ hoặc màu xanh. Chứng minh rằng với mỗi cách sơn màu bàn cờ bất kì, trong bàn cờ luôn tồn tại một hình chữ nhật mà các ô ở 4 góc của nó là các ô cùng màu. 2) Hai phụ nữ An, Chi và hai người đàn ông Bình, Danh là các vận động viên. Một người là vận động viên bơi lội, người thứ hai là vận động viên trượt băng, người thứ ba là vận động viên thể dục dụng cụ và người thứ tư là vận động viên cầu lông. Có một ngày nọ họ ngồi xung quanh một cái bàn vuông (mỗi người ngồi một cạnh). Biết rằng: a. Chi và Danh ngồi cạnh nhau. b. Vận động viên thể dục dụng cụ ngồi đối diện Bình. c. Vận động viên bơi lội ngồi bên trái An. d. Một phụ nữ ngồi bên trái vận động viên trượt băng. Hãy cho biết mỗi người là vận động viên chơi môn gì ? --------------------------Hết-------------------------- Lưu ý: - Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. - Giám thị không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: ............................... ; Số báo danh: .......... ; Phòng thi số:..........
2. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH GIA LAI LỚP 9 THCS, NĂM HỌC 2014 – 2015 Môn thi: TOÁN Ngày thi: 24/03/2015 ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN Câu Ý Đáp án Điểm Giả sử x;y là nghiệm nguyên tố của phương trình. Ta có x2 2y2 1 nên x2 là số lẻ và do đó x là số lẻ. 0,5 đ 2 2 1) Ta lại có 2y x 1 x 1 nên y là số chẵn và vì thế y lại là số chẵn, mà y là số nguyên tố nên y 2 . 1,0 đ (2đ) Thay vào phương trình ta được x 3. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x;y 3;2 0,5 đ 1 (4,0đ) Ta viết lại dãy trên là a1,a2 ,a3,a4 ,... Ta có: an 3 an 1 an an 2 an 3 an 2 an 1 an với mọi n 1 Do đó: 0,5 đ a1 a2 a3 a4 ... a2013 a2014 3 2) a2 a3 a4 a5 ... a2014 a2015 6 (2đ) Suy ra: a1 a2 a3 a4 ... a2013 a2014 3.1007 (1) 1,0 đ a2 a3 a4 a5 ... a2014 a2015 6.1007 (2)
3. Lấy (2) (1) ta được: a2015 a1 3.1007 3021 a2015 3022 Vậy: a2015 3022 0,5 đ Ta có bất đẳng thức phụ sau: x2 6x 9 1,0 đ 4 x 1 ,x 0. x2 2x 3 Thật vậy ta có: x2 6x 9 4x3 5x2 2x 3 0,5 đ 4 x 1 0 x2 2x 3 x2 2x 3 x 1 2 4x 3 0 đúng với mọi số dương x. 0,5 đ x 1 2 2 2 Áp dụng bất đẳng thức phụ ta được (3,0đ) a2 6a 9 b2 6b 9 c2 6c 9 4 a 1 ; 4 b 1 ; 4 c 1 0,5 đ a2 2a 3 b2 2b 3 c2 2c 3 Cộng ba bất đẳng thức cùng chiều trên ta được a2 6a 9 b2 6b 9 c2 6c 9 0,5 đ 4 a b c 3 24 a2 2a 3 b2 2b 3 c2 2c 3 Đẳng thức xảy ra khi a b c 1 Giả sử x;y là nghiệm của hệ. Khi đó ta có 2x2 3y2 x y2 3x2 y 1) 0,5 đ 3 y3 3xy2 3x2y 2x3 0 (2đ) (4,0đ) y 2x y2 xy x2 0 0,5 đ
4. 2 x 3 2 y 2x y x 0 2 4 0,25 đ y 2x y 2x x y 0 x 0 2 0,25 đ Khi đó ta có: 7x x 1 x 7 Với x 0 ta có y 0 1 2 Với x ta có y 7 7 1 x 0,5 đ x 0 7 Thử lại ta thấy ; là các nghiệm của hệ. y 0 2 y 7 a) Ta có: 1* 2 1.2 3.1 2 3 0,25 đ 2*1 2.1 3.2 1 7 1* 2 *3 3*3 3.3 3.3 3 16 0,25 đ 1* 2*3 1*9 1.9 3.1 9 3 Do đó: Phép toán “ * ” không có tính chất giao hoán cũng như kết 2a) hợp. 0,25 đ (0,75đ) b) Ta có: 2 x * x * m m 2015 1 m 3 x 2 m 3 x 2015 0 0,75 đ 2b) (1,25đ) Vì m dương nên để phương trình 1 có hai nghiệm thì ' m 3 m 2012 0 m 2012 . 0,25 đ
5. Vậy m 2012 là giá trị cần tìm. 0,25 đ A H O B C l D Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC 0,25 đ Ta có: B· OC 2B· AC 2 0 Gọi I là trung điểm của BC. Do tam giác OBC cân nên ta có: 1 0,5 đ OI  BC và I·OC B· OC 0 4 2 1) (5,0đ) Trong tam giác vuông OIC ta tính được: (2đ) IC OC.sin I·OC R.sin 0 và IO OC.cosI·OC R.cos 0 . 0,25 đ Vậy BC 2R.sin 0 Kẻ đường kính AD, khi đó các góc A· BD và A· CD là các góc 0,25 đ vuông. CH  AB Ta có: CH PDB DB  AB 0,25 đ Tương tự ta có: BH PCD Do đó: tứ giác BHCD là hình bình hành I là trung điểm của HD 0,25 đ OI là đường trung bình của tam giác AHD AH 2OI 2R cos 0 . 0,25 đ Như vậy: BC 2R.sin 0 và AH 2R cos 0
6. A I O E B D M C A' Chứng minh: DE  AC . 0,5 đ Vì ·ADB ·AEB 900 nên tứ giác ABDE là tứ giác nội tiếp. 2) Do đó : (3đ) E· DC B· AE (cùng bù với góc B· DE ). 0,5 đ Mà B· AE B· CA' (cùng chắn ¼A'B ). Suy ra góc E· DC D· CA' DEA'C . Mà A'C  AC nên: 0,5 đ DE  AC Chứng minh: MD ME . Gọi I là trung điểm AB . Ta có I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ 0,5 đ giác ABDE . Do M ,I lần lượt là trung điểm BC, AB nên MI AC . Mặt khác DE  AC nên MI  DE 0,5 đ Hơn nữa ID IE nên MI là đường trung trực của DE . Suy ra ME MD . 0,5 đ Có 8 cách để sơn màu cho mỗi cột của hình chữ nhật 0,5 đ 5 mà ta có 9 cột, do đó, theo nguyên lý Dirichlet phải có hai cột cùng 1) một cách sơn. (4,0đ) 0,5 đ (2đ) Do trong một cột có ba ô vuông mà chỉ có hai màu sơn nên phải có hai ô vuông cùng màu, ta có thể giả sử có hai ô vuông cùng được 0,5 đ sơn màu đỏ.
7. Như vậy, ta đã có hình chữ nhật gồm các ô ở 4 góc là các ô cùng màu đỏ ( ĐCCM) 0,5 đ Bình không thể ngồi đối diện với An vì Chi và Danh ngồi cạnh 0,5 đ nhau. Hơn nữa, Bình cũng không thể ngồi bên phải của An vì khi đó vận động viên bơi sẽ ngồi đối diện Bình. 0,5 đ Do vậy, Bình ngồi bên trái của An và Bình là vận động viên bơi. 2) Nếu Chi ngồi đối diện với An thì hai người phụ nữ: An ngồi bên (2đ) trái của các vận động viên thể dục và Chi ngồi bên trái của các vận động viên bơi 0,5 đ Do đó, Chi ngồi bên phải của An và Chi là vận động viên thể dục dụng cụ. 0,5 đ Như vậy, người đối diện với An là Danh và Danh là vận động viên trượt băng còn An là vận động viên cầu lông.