Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường môn Toán Lớp 8 - Năm học 2012-2013 - Trường THCS Đức Lân (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường môn Toán Lớp 8 - Năm học 2012-2013 - Trường THCS Đức Lân (Có đáp án)

1. TRƯỜNG THCS ĐỨC LÂN ĐỀ KIỂM TRA CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 8 Tổ Toán – Lý – Tin – CN Cấp trường – Năm học 2012 – 2013 Thời gian 150 phút Bài 1: (3,5đ)a, Chứng minh rằng với mọi n nguyên thì: n3 13n6 b, CMR với n  thì: n5 n30 . c, Tìm số tự nhiên n để phân số n 13 tối giản. n 2 Bài 2: (3đ) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a, 4a2b2 a2 b2 c2 b, x5 + x + 1 c, x 1 x 2 x 3 x 4 1 Bài 3: (3đ) Giải phương trình: a, x4 – 30x2 + 31x – 30 = 0 1 1 1 1 b, x2 4x 3 x2 8x 15 x2 12x 35 9 c, x 6 4 x 8 4 16 Bài 4 (3,5 đ) x y z a b c x2 y2 z2 a/Cho 1 và 0 . Chứng minh rằng : 1. a b c x y z a2 b2 c2 b/Giải bài toán bằng cách lập phương trình. Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 11. Nếu bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu lên 4 đơn vị thì sẽ được phân số nghịch đảo của phân số đã cho. Tìm phân số đó. Bài 5: (4đ) Cho hình vuông ABCD, trên tia đối tia BA lấy E, trên tia đối tia CB lấy F sao cho AE = CF a) Chứng minh EDF vuông cân b) Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD. Gọi I là trung điểm EF. Chứng minh O, C, I thẳng hàng. Bài 6: (3)Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển trên AB, AC sao cho BD = AE. Xác địnhvị trí điểm D, E sao cho: a/ DE có độ dài nhỏ nhất b/ Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất. -The end-
2. x4 – 30x2 + 31x – 30 = 0 x4 x 30 x2 x 1 0 x x3 1 30 x2 x 1 0 x x 1 x2 x 1 30 x2 x 1 0 x2 x 1 x2 x 30 0 0,5 3 a 2 1 3 x2 x 30 0 vìx2 x 1 x 0 2 4 x2 6x 5x 30 0 x 6 x 6 x 5 0 0,5 x 5 Vậy S 6;5 1 1 1 1 x2 4x 3 x2 8x 15 x2 12x 35 9 1 1 1 1 0,5 x2 3x x 3 x2 5x 3x 15 x2 7x 5x 35 9 1 1 1 1 x 1 x 3 x 3 x 5 x 5 x 7 9 ĐKXĐ: x 1; 3; 5; 7 Phương trình trên có thể viết: 0,5 1 1 1 1 1 1 1 1 b 2 x 1 x 3 x 3 x 5 x 5 x 7 9 1 1 1 1 6 1 2 x 1 x 7 9 2 x 1 x 7 9 x 1 x 7 27 x2 8x 20 0 x2 8x 16 36 x 4 2 62 x 4 6 x 2 (TM ĐKXĐ) 0,5 x 4 6 x 10 Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x = 2; x = -10 Đặt x – 7 = y, Phương trình trở thành: y 1 4 y 1 4 16 0,5 c y4 6y2 7 0 2 y 1 y 1 0,5 x 8; x 6 x y z x y z Ta có : 1 ( )2 1 0,5 a b c a b c x2 y2 z2 xy xz yz 0,5 2( ) 1 4 a a2 b2 c2 ab ac bc x2 y2 z2 cxy bxz ayz 2 1 a2 b2 c2 abc
3. Áp dụng định lý Pitago với ADE vuông tại A có: DE2 = AD2 + AE2 = (a – x)2 + x2 = 2x2 – 2ax + a2 = 2(x2 – ax) – a2 0,5 a2 a2 a2 = 2(x – )2 + 4 2 2 a Ta có DE nhỏ nhất DE2 nhỏ nhất x = 2 a 0,5 BD = AE = D, E là trung điểm AB, AC 2 Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất. 1 1 1 1 2 Ta có: SADE = AD.AE = AD.BD = AD(AB – AD)= (AD – 2 2 2 2 AB.AD) 1 AB AB2 AB2 1 AB AB2 = – (AD2 – 2 .AD + ) + = – (AD – )2 + 2 2 4 8 2 4 2 2 b AB 0,5 8 2 2 AB AB 3 2 Vậy SBDEC = SABC – SADE – = AB không đổi 2 8 8 0,5 3 2 Do đó min S BDEC = AB khi D, E lần lượt là trung điểm AB, 8 AC