Sáng kiến kinh nghiệm Giúp học sinh Lớp 9 rèn kỹ năng giải phương trình nghiệm nguyên

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Giúp học sinh Lớp 9 rèn kỹ năng giải phương trình nghiệm nguyên

1. MỤC LỤC Nội dung Trang 1. Phần mở đầu 1 1.1. Lý do chọn đề tài 1 1.2. Mụcđích, nhiệm vụcủa sáng kiến kinh nghiệm. 2 1.2.1. Mụcđích của sáng kiến 2 1.2.2. Nhiệm vụcủa sáng kiến 2 2. Nội dung 3 2.1. Thời gian thực hiện 3 2.2.Đánh giá thực trạng của sáng kiến khi áp dụng vào thực tế3 2.2.1. Kết quả đạt được 3 2.2.2. Những mặt còn hạn chế 3 2.2.3. Nguyên nhân đạt được và nguyên nhân còn hạn chế3 3. Giải pháp thực hiện 5 3.1. Căn cứ thực hiện 5 3.2. Nội dung, giải pháp và cách thức thực hiện: 6 3.2.1. Nội dung, phương pháp 6 3.2.2. Giải pháp thực hiện 6 4. Kết luận 23 4.1. Kết quả đạt được 23 4.2. Phạm vi áp dụng, vận dụng vào thực tiễn 24
2. 2 1. PHẦN MỞ ĐẦU 1.1. Lý do chọn đề tài Trong chương trình môn toán trung học cơsở, phương trìnhđóng một vai trò rất quan trọng. Một trong những đặcđiểm nổi bậc của môn toán lớp 9 trong việc bồi dưỡng học sinh thi vào 10 và thi học sinh giỏiđó là kiến thức về phương trình, trongđó có phương trình nghiệm nguyên. Phương trình nghiệm nguyên là một đề tài lí thú của Sốhọc và Đại số,đã lôi cuốn nhiều người. Ngoài phương trình bậc nhất haiẩn, các phương trình nghiệm nguyên thường không có quy tắc giải tổng quát. Mỗi bài toán, với điều kiện riêng của nó,đòi hỏi một cách giải riêng phù hợp.Điềuđó có tác dụng rèn luyện tư duy toán học mềm dẻo, linh hoạt và sáng tạo. Chính vì thế mà các phương trình tìm nghiệm nguyên thường có mặt trong các kì thi vào lớp 10, thi học sinh giỏi về môn toánởlớp 9. Qua nhiều năm giảng dạy môn toánở khối lớp 9 và bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi môn toán 9 tại trường THCS An Hải, tôi nhận thấy rằng học sinh rất ngại làm các dạng bài tập về phương trình, đặc biệt là phương trình tìm nghiệm nguyên. Nguyên nhân là do các em chưa nắm vững kiến thức về giải phương trình tìm nghiệm nguyên. Bên cạnhđó các chuyên đề, giải pháp đưa ra nhằm giúp các em làm các dạng bài tập về phương trình nói chung và phương trình tìm nghiệm nguyên nói riêng vẫn chưa đạt được một cách hiệu quả cao. Trong khiđó, bắt đầu từnăm học 2021 – 2022 các em học sinh lớp 9 trên địa bàn huyện, sau khi tốt nghiệp xong muốn vào trường công lập thì phải thi tuyển vào 10. Xuất phát từ những lí do trên, tôi quyết định chọn làm sáng kiến “ Giúp học sinh lớp 9 rèn kỹnăng giải phương trình nghiệm nguyên ” nhằm với mụcđích giúp các em có được phương phápđúng đắn khi giải phương trình nghiệm nguyên, đồng thời cũng giúp các em có thêm tài liệu để ôn luyện thi vào 10, cũng như tham gia các kỳ thi học sinh giỏi các cấp đạt kết quả cao hơn.
3. 3 1.2. Mụcđích, nhiệm vụcủa sáng kiến. 1.2.1. Mụcđích của sáng kiến Nhằm giúp học sinh khối lớp 9 và đội tuyển học sinh giỏi trường trung học cơsở An Hải và các trường khác trên địa bàn huyện giải được các dạng toán về phương trình nghiệm nguyên, từ đó góp phần nâng cao chất lượng thi vào lớp 10, thi học sinh giỏi; đồng thời nâng cao chất lượng dạy và học môn toánở trường tôi và các trường khác trên địa bàn huyện. 1.2.2. Nhiệm vụcủa sáng kiến Tìm hiểu thực trạng của học sinh trong khối lớp 9 và đội tuyển học sinh giỏi. Từ đó, đề ra những giải pháp phù hợp với học sinh nhằm giúp các em tìm ra được cách giải các bài tập về phương trình nghiệm nguyên nói riêng và phương pháp học môn toán nói chung. Tổng kết,đánh giá các biện pháp đưa ra áp dụng tác động đến đối tượng nghiên cứu để đi đến những kết luận có tính khả thi cao. Từ đó tổng hợp thành bài học kinh nghiệm của bản thân trong giảng dạy những năm học sau này.
4. 4 2. NỘI DUNG 2.1.Thời gian thực hiện: Sáng kiến được thực hiện trong năm học 2022- 2023 là từ tháng 10 năm 2022 đến tháng 03 năm 2023. 2.2.Đánh giá thực trạng của sáng kiến khi áp dụng vào thực tế. 2.2.1. Kết quả đạt được: Khi chưa áp dụng sáng kiến này vào công tác giảng dạy, tôiđã thực hiện việc khảo sát môn toánởmột sốlớp của khối lớp 9 và đội tuyển học sinh giỏi trong đầu học kì I của năm học 2022 - 2023. Kết quả cho thấy sốlượng học sinh yếu, kém trong việc giải phương trình chiếm tỉlệ khá cao.Đa phần những em học sinh này đều không làm được các bài tập liên quan đến giải phương trình, đặc biệt là phương trình nghiệm nguyên. Sau khi áp dụng sáng kiến vào công tác giảng dạy. Tôi thấy học sinh tiếp nhận kiến thức một cách thoải mái, chủ động, rõ ràng. Các emđã nhận dạng được các bài toán liên quan đến phương trình nghiệm nguyên một cách nhanh chóng, từ đóđã giải được hầu hết các dạng bài tập liên quan đến phương trình nghiệm nguyên, xóađi cảm giác khó và phức tạp ban đầu không có phương pháp giải cụ thể. 2.2.2. Những mặt còn hạn chế: Qua quá trình giảng dạy, tôi nhận thấy vẫn còn tồn tại học sinh yếu trong tính toán, kĩnăng quan sát, nhận xét, biến đổi và thực hành giải toán. Một số phụ huynh vẫn chưa thực sự quan tâm đến việc học của con em. Nên khi áp dụng sáng kiến vào giảng dạy gặp rất nhiều khó khăn. Các em vẫn chưa phát huy hết kết quả mà sáng kiến mang lại. 2.2.3. Nguyên nhân đạt được và nguyên nhân hạn chếcủa sáng kiến. - Nguyên nhân đạt được + Luôn được sự quan tâm của lãnh đạo Phòng Giáo dục vàĐào tạo, Ban giám hiệu nhà trường trong phong trào thi học sinh giỏi, thi giáo viên dạy giỏi; phong trào phụ đạo học sinh lớp 9; chỉ đạo công tác giáo dục sát với tình hình của lớp, của trường.
5. 5 + Sự giúp đỡ,đoàn kết, phối hợp của đồng nghiệp hai trường trung học cơsở trên địa bàn huyện; hợp tác của học sinh và phụ huynh trong dạy học. + Thường xuyên thay đổi phương pháp, hình thức dạy học theo định hướng phát triển năng lực, phẩm chất của học sinh; Đồng thời trong quá trình thực hiện sáng kiến, bản thân cũng luôn tăng cường việc phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh. + Giáo viên và học sinhđã xác địnhđúng mục tiêu, tạo động cơ, hứng thú say mê, yêu thích dạy học bộ môn toán. - Nguyên nhân hạn chếcủa sáng kiến. + Học sinh phần lớn là do mất kiến thức cơbảnở các lớp dưới, nhất là chưa chủ động nhiều trong học tập. + Các em chưa quen với phương pháp học mới. + Học sinh của trườngđa phần là con em nông dân, lao động nghèo ít cóđiều kiện đầu tư việc học. Một số phụ huynh lạiđi làmăn xa(Gia Lai, Ninh Hiển, ...) ít quan tâm đến việc học của con em, khoán trắng việc học tập của con em họ cho giáo viên và nhà trường. + Sự phát triển, bùng nổcủa công nghệ thông tin với internet,điện thoại thông minh, với dịch vụ vui chơi, giải trí hấp dẫnđã lôi cuốn các em, làm các em sao lãng việc học.
6. 6 3. GIẢI PHÁP THỰC HIỆN 3.1. Căn cứ thực hiện: Trong hoạt động giáo dục hiện nayđòi hỏi học sinh cần phải tựhọc, tự nghiên cứu rất cao. Tức là cáiđích cần phải biến quá trình giáo dục thành quá trình tự giáo dục. Nhưvậy học sinh có thể phát huy được năng lực sáng tạo, tư duy khoa học từ đó xử lý linh hoạt được các vấn đềcủa đời sống xã hội. Một trong những phương pháp đểhọc sinh đạt đượcđiềuđó đối với môn Toán,đó là khích lệ các em sau khi tiếp thu thêm một lượng kiến thức các em cần khắc sâu tìm tòi những bài toán liên quan. Để làm được nhưvậy thì giáo viên cần gợi lên sự say mê học tập, tự nghiên cứu,đào sâu kiến thức của các em học sinh. Dạng toán về phương trình nghiệm nguyên là một dạng toán khó và rất quan trọng của môn đại số và sốhọc, đặc biệt phương trình nghiệm nguyên còn là một chuyên đề không thể thiếu của học sinh lớp 9 trong các cuộc thi học sinh giỏi các cấp, thi vào lớp 10, nó còn là nền tảng làm cơ sở đểhọc sinh học tiếp các chương trình sau này khi chuyển cấp. Vềcơsởvật chất của nhà trường thì đảm bảo cho việc giảng dạy, Ban giám hiệu nhà trường thì luôn quan tâm tạođiều kiện cho giáo viên trong việc giảng dạy. Tuy nhiên do thuộc khu vực Hải Đảo nên một số phụ huynh vẫn chưa quan tâm lắm đến việc học của con em, vẫn còn nhiều học sinh chưa yêu thích môn toán vì thấy khó và nhất là cảm thấy khó trong các bài toán giải phương trình nghiệm nguyên. Vấn đề đặt ra là làm thế nào đểhọc sinh giải được các dạng toán về phương trình nghiệm nguyên một cách chính xác, nhanh chóng và đạt hiệu quả cao, đặc biệt là đội tuyển học sinh giỏi lớp 9. Để thực hiện tốtđiều này, giáo viên cần xây dựng cho học sinh những kĩnăng như quan sát, nhận xét, đánh giá bài toán, đặc biệt kĩnăng giải toán, kĩnăng vận dụng bài toán trong quá trình áp dụng sáng kiến, tuỳ theo từng đốí tượng học sinh mà xây dựng cách giải cho phù hợp trên cơsở các phương phápđã học và các cách giải khác, để giúp học sinh học tốt.
7. 7 3.2. Nội dung, giải pháp và cách thức thực hiện 3.2.1. Nội dung, phương pháp: -Nội dung: Để thực hiện tốt kỹnăng giải phương trình nghiệm nguyên một cách thành thạo trong thực hành giải toán, trong quá trình áp dụng sáng kiến giáo viên cần rèn luyện cho học sinh các kiến thức cơbản sau: + Củng cốlại các phép tính, các phép biến đổi, quy tắc dấu ngoặc. + Các kiến thức về tính chất chia hết, chia có dư, đồng dư thức. + Các kiến thức vềhằng đẳng thứcđáng nhớ. + Kiến thức vềdấu hiệu chia hết cho 2, cho 3, cho 5, cho 9,.. + Kiến thức về thuật toánƠ-clít. + Kiến thức vềbất đẳng thức. + Kiến thức vềsố chính phương. + Đặc biệt sáng kiếnđã cung cấp cho học sinh nắm vững các kiến thức, phương pháp và kỹnăng giải các dạng toán về phương trình nghiệm nguyên. - Phương pháp thực hiện: Khi thực hiện sáng kiến vào giảng dạy, do đặc thù các dạng bài tập về phương trình nghiệm nguyên rất phong phú vàđa dạng,đòi hỏi sự linh hoạt trong quá trình vận dụng và truyền đạt phương pháp. Dođó, tôiđã hướng dẫn học sinh bằng cách đưa ra các hệ thống bài tập theo các mức độ rèn luyện minh hoạtừdễ đến khó, nhằm bồi dưỡng học sinh phát triển kỹnăng từ biết làm đến đạt mềm dẻo, linh hoạt và sáng tạo. Đểbồi dưỡng mỗi dạng toán ta thường thực hiện theo các bước sau: Bước 1 : Đưa ra các dạng toán Bước 2 : Ôn lại các kiến thức liên quan và đưa ra phương pháp giải Bước 3: Giới thiệu bài tập mẫu. Bước 4: Học sinh tự luyện và nâng cao. 3.2.2. Giải pháp thực hiện Khi áp dụng sáng kiến vào giảng dạy, giáo viênđã hướng dẫn học sinh các dạng toán giải phương trình nghiệm nguyên sau:
8. 8 Dạng 1: Phương trình ax + by = c (*) (Với a, b, c là các số nguyên ) a. Phương pháp giải + NếuƯCLN(a,b) = d và c  d thì phương trình (*) vô nghiệm. + NếuƯCLN(a ,b) = d và c ⋮ d thì phương trình (*) có nghiệm nguyên và nghiệm được xác định là  0  btxx   0  atyy Trongđó t Zvà (x0 ; y0) là một nghiệm riêng của phương trình (*) Hệ quả: NếuƯCLN(a, b) = 1 thì phương trình (*) luôn có nghiệm nguyên. * Cách tìm nghiệm riêng (x0 ; y0) của phương trình ax + by = c (*) - Trước tiên ta tìm nghiệm riêng của phương trình ax + by = 1 với (a, b) = 1. Dùng thuật toánơclit cho a và b, ta có: a = b.q 0r 1 b = 1.rq 1 2 r ..... rk1  r k. q k  1 Lấy các thương số trong dãy phép chia của thuật toán Tính: 1 p m q   0 1 q  q 1 1 q  2 1 ... qk  x0  p  x0  q   y q y p Khiđó nghiệm riêng của ax + by = 1 thỏa:  0 hoặc  0 Thửtừng trường hợp để xác định dấu của x 0 , y0 - Cuối cùng (cx0 ,cy0) là nghiệm riêng của phương trình (*)
9. 9 b. Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình 5x – 7y = 3 Hướng dẫn Trước hết ta tìm nghiệm riêng của 5x – 7y = 1 Thuật toánƠclit cho 7 và 5, ta có: 7 = 5. 1 + 2 5 = 2. 2 + 1 1 3 1  Tính được: m = 2 2 Thửtừng trường hợp, ta thấy 03, 0 2xylà nghiệm riêng của 5x – 7y = 1 Khiđó: (9; 6) là nghiệm riêng của 5x – 7y = 3 Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là: x9  7 t Z  y6  5 t với t Ví dụ2 : Tìm tất cả các sốtự nhiên n sao cho : a/ 9nvà⋮ n + 1 25⋮ ; b/ 21nvà⋮ 1 165n⋮ Hướng dẫn a/ Giảsử n=9x,n+1=25yvới x, y N Khiđó : – 9x + 25y = 1 Thuật toánƠclit cho 25 và 9, ta có: 25 = 9. 2 + 7 9 = 7. 1 + 2 7 = 2. 3 + 1 1 11 2   1 1 4 Tính được: m = 3 Thửtừng trường hợp, ta thấy 011, 0 4xylà nghiệm riêng  của 25y – 9x = 1 x11  25 t N  Suy ra : y4  9 t với t Suy ra : n = 99 + 225t , với t N b/ Giảsử n = 21x , n + 1 = 165y với x, y N Khiđó : 165y – 21x = 1 không có nghiệm nguyên vìƯCLN(165 ; 21) = 3 và 1 không chia hết cho 3.
10. 10 c. Bài tập tương tự Bài 1 : Tìm nghiệm nguyên của các phương trình sau a/ 5x + 3y = 2 ; b/ 11x + 18y = 120 x 2  3 t x6  18 t  ()t Z  ()t Z Đáp án : a/ y4  5 t ; b/ y3  11 t 5n 2 Bài 2: Tìm tất cả các sốtự nhiên n để 17 là sốtự nhiên. Đáp án: n = -14 + 17t với t  N* Dạng 2. Phương trình axy + bx + cy – d = 0 (Với a, b, c, d là các số nguyên) a. Phương pháp giải Để giải phương trình dạng này, ta thường sửdụng các phương pháp sau : - Phương pháp 1: Đưa về phương trình ước số Ta biến đổi phương trình sao cho vế trái là 1 tích các thừa số nguyên, vế phảii là một hằng số nguyên. Bằng cách tìm ước của hằng số đó, ta tìm được nghiệm nguyên của phương trìnhđã cho. - Phương pháp 2 : Biểu thịmộtẩn theoẩn còn lại rồi dùng tính chất chia hết. b. Ví dụ minh họa Ví dụ1 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau 2xy – x + y = 3 Hướng dẫn Ta có : 2xy – x + y = 3  4xy – 2x + 2y = 6  2x(2y – 1) + (2y – 1) = 5  (2y – 1)(2x + 1) = 5 Ta xét các trường hợp sau 2y 1  1  y  1 2y 1  5  y  3     T/H1 : 2x 1  5  x  2 ; T/H2 : 2x 1  1  x  0 2y 1   1  y  0 2y 1   5  y   2     T/H3 : 2x 1   5  x   3 ; T/H4 : 2x 1   1  x   1 Vậy phương trình có các nghiệm (x ; y) là : (2 ; 1) ; (0 ; 3) ; (-3 ; 0) ; (-1 ; -2).
11. 11 Ví dụ2 : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình sau 6x + 5y + 18 = 2xy(đề thi HSG tỉnh Quảng Ngãi năm 2012) Hướng dẫn Ta có: 6 5 18 2xy 2xy - 6x xy - 5y = 18   2xy - 6x + 15 - 5y = 33  2x(y – 3) – 5(y – 3) = 33  (y – 3)(2x – 5) = 33 Vì x, y 1nên 2x – 5  -3 và y – 3 2. Dođó, ta xét các trường hợp sau: y3  1  x  19 y3  33  x  3     T/H1: 2x 5  33  y  4 ; T/H2: 2x 5  1  y  36 y3  11  x  4 y3  3  x  8     TH3: 2x 5  3  y  14 ; TH4: 2x 5  11  y  6 Vậy phương trình có các nghiệm (x ; y) là : (3; 36); (4; 14); (8; 6); (19; 4) Ví dụ3 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình xy – x – y = 2 Hướng dẫn Ta có : xy – x – y = 2  (y – 1)x = y + 2 Ta thấy y  1 ( vì nếu y = 1 thì ta có 0x = 3 vô nghiệm) y2 y  1  3 3 x   1  Dođó: y1 y  1 y  1 (1) 3 Do x là số nguyên nên 1ylà số nguyên, dođó y – 1 là ước của 3. Suy ra y 0;2; 2;4  Thay lần lượt các giá trịcủa y vào (1) ta tìm được giá trịcủa x tươngứng là -2; 4; 0; 2. Thửlại, các cặp (x; y) đều thỏa mãn. Vậy phương trình có các nghiệm (x; y) là: (-2; 0); (4; 2); (0; -2); (2; 4) c. Bài tập tương tự Bài 1 : Tìm nghiệm nguyên dương của các phương trình sau : a/ xy – 2x + 3y = 27 ; b/ 2xy – 4x + y = 7 Đáp án : a/ Các nghiệm là: (18; 3); (0; 9); (4; 5). b/ Nghiệm của phương trình là (2 ; 3)
12. 12 Bài 2 : Tìm nghiệm nguyên của các phương trình sau a/ 3xy + x – y = 1 ; b/ 5x – 3y = 2xy – 11 Đáp án : a/ Có nghiệm là (1; 0) ; (0 ; -1) b/ Có các nghiệm là (-1 ; 6) ; (-2 ; -1) ; (2 ; 3) ; (-5 ; 2) 2 2 Dạng 3. Phương trình ax 0by c  (Với a, b, c là các số nguyên) a.Phương pháp giải Để giải phương trình dạng này, ta thường sửdụng các phương pháp sau : - Phương pháp 1 : Xét sốdưcủa từng vế. Khiđó, chúng ta sẽ xét hai vế của phương trình khi chia cho cùng một số để tìm sốdư. - Phương pháp 2 : Dùng tính chia hết, chẵn lẽ. b. Kiến thức liên quan Đểsửdụng được các phương pháp trên, tôiđã ôn lại cho học sinh một số kiến thức sau : * Phép Chia hết. - Định nghĩa:    Với a, b ℤ (b 0)  q, r ℤ sao cho a =bq + r với 0  r < b + Nếu r = 0  a ⋮ b   + Nếu r 0 a ⋮ b - Tính chất + Nếu a b⋮ và b c⋮ thì a ⋮ c + Nếu a b m⋮và a m⋮ thì b m⋮ + Nếu a b m⋮và .ab mthì⋮ a m⋮ hoặc b m⋮ + Nếu a b⋮ ; a c⋮ vàƯCLN(b, c) = 1 thì a bc⋮ + Nếu a.b m⋮ , m là số nguyên tố thì a ⋮ m hoặc b ⋮ m. + Nếu ab c⋮ vàƯCLN(c, b) = 1 thì a ⋮ c + Nếu p là số nguyên tố và an p a p⋮ ⋮ + Tích 2 số nguyên liên tiếp chia hết cho 2.
13. 13 + Tích 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 6. + Tích 4 số nguyên liên tiếp chia hết cho 24. + Tích 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 120. * Đồng dư thức - Định nghĩa Cho số nguyên m > 0. Nếu hai số nguyên a và b có cùng sốdư khi chia cho m thì ta nói a đồng dưvới b theo modun m. Kí hiệu a b (mod m). Ví dụ: 16  11 (mod 5) - Tính chất + Nếu a b (mod m) thì a  c  b  c (mod m) + Nếu a b (mod m) thì ..na(mod n b m) + Nếu a b (mod m) thì an b n (mod m) với n N* c. Các ví dụ minh họa Ví dụ 1. Tìm các cặp số nguyên dương (x; y) thoả mãn 15x2 −7y 2 = 9 (đề thi HSG tỉnh Quảng Ngãi năm 2014) Hướng dẫn Giảsửcặp số nguyên dương (x; y) là nghiệm của phương trình: 15x2 −7y 2 = 9 (1) 15x2 −9=7y 2 => 7y2 ⋮ 3 =>y 2 ⋮ 3 =>y ⋮ 3 ( vìƯCLN(3, 7) = 1) Đặt y = 3z và thay vào (1) ta có 15x2 − 63z2 = 9 5x2 − 21z2 = 3 (2) Lập luận tương tự ta suy ra đượcx ⋮ 3 Đặt x = 3t và thay vào (2) ta có 45t2 − 21z2 = 3 15x2 − 7z2 = 1 (3) + Nếu z  0(mod 3) => VP  0(mod 3) nhưng VT  1(mod 3) (Vô lí) + Nếu z  1(mod3) => z2  1(mod3) => -7z2  2(mod3). Suy ra VP  2(mod 3), VT  1(mod 3) Vô lí + Nếu z  2(mod 3) => z2  1(mod3) => -7z2  2(mod3). Suy ra VP  2(mod 3), VT  1(mod 3) Vô lí Vậy không tìm được cặp số nguyên dương (x; y) nào là nghiệm của phương trìnhđã.
14. 14 2 2 Ví dụ2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình 7 13 1820xy  Hướng dẫn Vì 1820 ⋮ 13 và 132 13ynên⋮ 72 13x.⋮ Vì (7 ; 13) = 1 nên 2 13x⋮=> x 13⋮ Đặt x = 13m (với m Z) Mặt khác 1820 ⋮ 7 và 72 7x⋮nên 132 7y.⋮ Dođó y ⋮ 7 Đặt y = 7n (Với n Z) Thay x = 13m, y = 7n vào phương trình ban đầu và thu gọn, ta được : 132 7 2 20mn  => 1, 1mn. Vì m, n Znên chọn được 1, 1mn Khiđó phương trình 132 7 2 20mncó 4 nghiệm là m 1 m 1 m  1 m  1     n 1 ; n  1 ; n 1 và n  1 Thay các giá trị vào trên, ta có phương trìnhđã cho có 4 nghiệm (x ; y) là : (13 ; 7) ; (13 ; -7) ; (-13 ; 7) ; (-13 ; -7). Ví dụ3.Chứng minh rằng phương trình sau không có nghiệm nguyên. a/ 32 4 2 13xy  b/ 72 12 2 2013xy  Hướng dẫn a/ Ta có : x2 chia 4 dư 0 hoặc 1. Suy ra : 3x2 chia 4 dư 0 hoặc 3 Khiđó vế trái của phương trình là 32 4xy 2 chia 4 sẽdư 0 hoặc 3 (vì 42 4y)⋮ Mặt khác vế phải là 13 chia 4 dư1 Vậy phương trình không có nghiệm nguyên. b/ Ta có : x2 chia 4 dư 0 hoặc 1. Suy ra : 7x 2 chia 4 dư 0 hoặc 3. Khiđó vế trái của phương trình là 72 12xy 2 chia 4 sẽdư 0 hoặc 3 (vì 122 4y)⋮ Mặt khác vế phải là 2013 chia 4 dư1 Vậy phương trình không có nghiệm nguyên. d. Bài tập tương tự Bài 1 : Tìm các cặp số nguyên dương (x ; y) thỏa mãn phương trình 2 2 2 2 a/ 6 5 74xy; b/ 6 7 229xy  Đáp án : a/ (x ; y) = (3 ; 2) ; b/ (x ; y) là (3 ; 5) ; (3 ; -5); (-3 ; 5) ; (-3 ; -5)
15. 15 Bài 2 : Chứng minh rằng các phương trình sau không có nghiệm nguyên. 2 2 2 2 2 2 a/ 7 24 41xy; b/7 5  3xy; c/ 2  1007xy  Dạng 4. Phương trình ax2 + by2 + cx + d = 0 hoặc ax2 + by2 + cy + d = 0 (Với a, b, c, d là các số nguyên) a. Phương pháp giải Để giải các phương trình dạng này, ta thường sửdụng các phương pháp sau: - Phương pháp 1: Đưa về phương trình ước số - Phương pháp 2:Tạo ra bình phươngđúng, rồi dùng tính chất chia hết. b. Ví dụ minh họa Ví dụ1 . Tìm nghiệm nguyên của phương trình 22 6xx 2 y  Hướng dẫn 2 2 Ta có : 2 6xx (x – y 1)2 – y2 =  7  (x – 1 – y)(x – 1 + y) = 7 Ta xét các trường hợp sau : x1  y  7  x  5 x1  y  1  x  5     T/H1 : x1  y  1  y   3 (nhận) ; T/H2 : x1  y  7  y  3 (nhận) x1  y   7  x   3 x1  y   1  x   3     T/H3 : x1  y   1  y  3 (nhận) ; T/H2 : x1  y   7  y   3 (nhận) Vậy nghiệm (x ; y) của phương trình là : (5 ; -3) ; (5 ; 3) ; (-3 ; 3) ; (-3 ; -3). Ví dụ2 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình 2x2 + 3y2 + 4x – 19 = 0 Hướng dẫn Ta có : 2x2 + 3y2 + 4x – 19 = 0  2x2 +4x+2=21–3y2  2(x + 1)2 = 3(7 – y2 ) Khiđó 3(7 – y 2 ) ⋮ 2 => 7 – y2 ⋮ 2 => y lẻ. Ta lại có : 7 – y2  0  y2  7 nên chỉ có thểy 2 = 1 Khiđó, phương trình có dạng 2(x + 1) 2 = 18. Ta tìm được x = 2 hoặc x = -4 Thửlại, ta thấy các cặp số (x ; y) bằng (2 ; 1) ; (2 ; -1) ; (-4 ; 1) ; (-4 ; -1) đều thỏa mãn phương trìnhđã cho nên là nghiệm của phương trìnhđã cho.
16. 16 c. Bài tập tương tự Bài 1 : Tìm nghiệm nguyên của các phương trình sau a/ 22 11xx 2 ; b/ y32 4 2  6 13 0xy x   Đáp án: a/ Có 4 nghiệm (x ; y) là (5 ; 2) ; (5 ; -2) ; (-3 ; 2) ; (-3 ; -2) b/ Có 6 nghiệm (x ;y) là : (3 ;1), (3 ;-1), (-1 ;1), (-1 ;-1),(1 ;2), (1 ;-2) Bài 2 : Tìm các số nguyên x đểmỗi biểu thức sau là số chính phương : a/ x2 – 2x – 14 ; b/ x2 – 4x – 25 Đáp án : a/ Tìm được các giá trị nguyên của x là : 9 ; -7 ; 5 ; -3 b/ Tìm được các giá trị nguyên của x là : 17 ; -13 Dạng 5. Phương trình ax2 + by2 + cxy + d = 0 (Với a, b, c, d là các số nguyên) a/ Phương pháp giải Để giải các phương trình dạng này, ta thường sửdụng các phương pháp như : Phương pháp đưa về phương trình ước số, phương pháp đưa vềtổng các số chính phương,... b/ Các ví dụ minh họa Ví dụ: Tìm nghiệm nguyên của phương trình 2 2 a/ 5x2 – y2 + 4xy – 9 = 0 ; b/ 4 5 34xxy y  Hướng dẫn a/ Ta có : 5x2 – y2 + 4xy – 9 = 0  5x2 + 5xy – xy – y2 = 9  5x(x + y) – y(x + y) = 9  (x + y)(5x – y) = 9 x + y và 5x – y là ước của 9 nên ta có bảng giá trị sau : x + y 1 3 9 -1 -3 -9 5x – y 9 3 1 -9 -3 -1 6x 10 6 10 -10 -6 -10 x loại 1 loại loại -1 loại y 2 -2 Vậy nghiệm nguyên (x ; y) của phương trình là (1 ; 2), (-1 ; -2).
17. 17 2 2 2 2 2 2 b/ Ta có : 4 5 34xxy ( 2 y ) 3  5xy y   Ta xét các trường hợp sau x – 2y 3 3 -3 -3 5 5 -5 -5 y 5 -5 5 -5 3 -3 3 -3 x 13 -7 7 -13 11 -1 1 -11 Vậy phương trình có 8 nghiệm (x ; y) là : (13 ; 5), (-7 ; -5) ; (7 ; 5) ; (-13 ; -5) ; (-11 ; 3) ; (-1 ; -3) ; (1 ; 3) ; (-11 ; -3). c. Bài tập tương tự Bài 1. Giải các phương trình nghiệm nguyên sau a/ 2x2 + 3xy – 2y2 = 7 ; b/ 10x2 + 29xy + 21y2 = 2001 Đáp án : a/ Nghiệm (x ; y) tìm được là (3 ; -1), (-3 ; 1). b/ Nghiệm (x ; y) tìm được là (100 ; -59) ; (4 ; 7) Bài 2. Giải các phương trình nghiệm nguyên sau a/ x2 – 6xy + 10y2 = 13 ; b/ 5x2 – 4xy + y2 = 5 Đáp án : a/ Nghiệm (x ; y) tìm được là (11 ; 3) ; (-7 ;-3) ; (7 ;3) ;(-11 ;-3) ; (9 ;2) ; (-3 ;-2) ; (-3 ;2) ; (-9 ;-2). b/ Nghiệm (x ; y) tìm được là (2 ;3),(-2 ;-3),(2 ;5),(-2 ;-5) ; (1 ;0) ; (-1 ;0) ; (1 ; 4) ; (-1 ; -4). Dạng 6. Phương trình ax2 + by2 + cx + dy + e = 0 (Với a, b, c, d, e là các số nguyên) a. Phương pháp giải Để giải các phương trình dạng này, ta thường sửdụng các phương pháp như : Phương pháp đưa vềtổng các số chính phương, phương pháp đưa về phương trình ước số,... b. Các ví dụ minh họa Ví dụ 1. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình 42 4 2 6 24xx y y   Hướng dẫn
18. 18 2 2 Ta có : 4 4 6 24xx (4x y2 4 x y 1) ( y 2  6 y  9) 34      (2 1)2 ( 3) 2 34xy    (2 1)2 ( 3) 2 3 2 5xy2     Ta thấy rằng : Với x, y nguyên dương thì 2x + 1  3 và y – 3  -2 Nên ta xét các trường hợp sau : 2x 1  3  x  1 2x 1  5  x  2     TH1 : y3  5  y  8 ; TH2 : y3  3  y  6 Vậy phương trình có nghiệm là (1 ; 8) và (2 ; 6) Ví dụ2 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình x2 + y2 = 5(x – y) Hướng dẫn Ta có : x2 + y2 = 5(x – y)  x2 + y2 – 5x + 5y = 0  4x2 – 20x + 4y2 + 20y = 0  (4x2 – 20x + 25) + (4y2 + 20y + 25) = 50  (2x – 5)2 + (2y + 5)2 = 72 + 12 Ta xét được các trường hợp sau : 2x – 5 7 -7 7 -7 1 1 -1 -1 2y + 5 1 1 -1 -1 7 -7 7 -7 x 6 -1 6 -1 3 3 2 2 y -2 -2 -3 -3 1 -6 1 -6 Vậy nghiệm nguyên (x ; y) của phương trình là : (6 ; -2) ; (-1 ; -2) ; (6 ; -3) ; (-1 ; -3) ; (3 ; 1) ; (3 ; -6) ; (2 ; 1) ; (2 ; -6). c. Bài tập tương tự Tìm nghiệm nguyên của các phương trình sau : a/ x2 + y2 – 2x – 6y + 10 = 0 ; b/ x2 + y2 – x – y - 8 = 0 Đáp án: a/ Nghiệm (x ; y) là (1 ; 3) b/ Nghiệm (x ; y) là (1;8), (1;-2), (-2;8), (-2; -2), (2;6), (2;0), (-3;6), (-3;0)
19. 19 Dạng 7. Phương trình ax2 + by2 + cxy + dx + ey + g = 0 (Với a, b, c, d, e, g  Z) a. Phương pháp giải Để giải các phương trình dạng này, ta thường sửdụng các phương pháp như : Phương pháp đưa vềtổng các số chính phương, phương pháp đưa về phương trình ước số,... b. Ví dụ minh họa Ví dụ 1. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình sau: x22 y 2 3 xy 2 x 4 y 3 0     (đề thi HSG tỉnh Quảng Ngãi năm 2016) Hướng dẫn Ta có : x22 y 2 3 xy 2 x 4 y 3 0     2 2  (x 2 xy )  ( xy  2 y )  (2 x  4 y )  3  x( x 2 y )  y ( x  2 y )  2( x  2 y )   3  (x – 2y)(x – y + 2) = -3 = (-1).3 = 1.(-3) Ta xét các trường hợp sau T/H1 : x – 2y = 3 và x – y + 2 = -1 nên x = -9 và y = -6 (loại) T/H2 : x – 2y = -3 và x – y + 2 = 1 nên x = 1 và y = 2 (nhận) T/H3 : x – 2y = -1 và x – y + 2 = 3 nên x = 3 và y = 2 (nhận) T/H4 : x – 2y = 1 và x – y + 2 = -3 nên x = -11 và y = -6 (loại) Vậy nghiệm nguyên dương (x ; y) của phương trình là : (1 ; 2) và (3 ; 2). Ví dụ2 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình x2 – xy + y2 = 2x – 3y – 2 Hướng dẫn Ta có : x2 – xy + y2 = 2x – 3y – 2  2x2 – 2xy + 2y2 – 4x + 6y = - 4  (x2 - 2xy + y2) + (x2 – 4x + 4) + (y2 + 6y + 9) = 9  (x – y)2 + (x – 2)2 + (y – 3)2 = 02 + 02 + 32 = 12 + 22 + 22
20. 20 Xét các trường hợp của , 2 , 3xyta có x bảng y sau  2x 3y x y Nhận xét 3 0 0 x = y = -3, trái với 2x= 3 0 3 0 x = y = 2, trái với 3 3y  0 0 3 x = 2, y = - 3, trái với 3xy 3;1  ,  1; 5 xy   1 2 2 Chỉ có x = 1, y = -1 thì 2xy 0; 4  ,  2; 4 xy   2 1 2 Chỉ có x = 0, y = -2 thì 2xy 0; 4  ,  1; 5 xy   2 2 1 Chỉ có x = 0, y = -1 thì 1xy Vậy phương trìnhđã cho có nghiệm nguyên (x ; y) là (0 ; -1), (1 ; -1), (0 ; -2) c. Bài tập tương tự Bài tập : Tìm nghiệm nguyên của các phương trình sau a/ x2 + 2y2 + 3xy – x – y + 3 = 0 ; b/ 2x2 + y2 + 3xy + 3x + 2y + 2 = 0 Đáp án : a/ Nghiệm nguyên (x ; y) là (-8 ; 5) , (-6 ; 5), (6 ; -3), (4 ; -3) b/ Nghiệm nguyên (x ; y) là (2 ; -4), (-2 ; 2) Dạng 8. Phương trình mũ a. Phương pháp giải Để giải các phương trình dạng này, ta thường sửdụng các phương pháp như : Phương pháp sửdụng tính chia hết, phương pháp xét sốdưcủa từng vế,... b. Ví dụ minh họa Ví dụ1 : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình 7x + 49y = 644 (Đề thi HSG cấp huyện Lý Sơn năm học 2020 – 2021)