Sáng kiến kinh nghiệm Giúp học sinh Lớp 9 rèn kỹ năng giải phương trình vô tỉ

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Giúp học sinh Lớp 9 rèn kỹ năng giải phương trình vô tỉ

1. MỤC LỤC Nội dung Trang 1. Phần mở đầu 1 1.1. Lý do chọn đề tài 1 1.2. Mụcđích, nhiệm vụcủa sáng kiến kinh nghiệm. 1 1.2.1. Mụcđích của sáng kiến 1 1.2.2. Nhiệm vụcủa sáng kiến 2 2. Nội dung 3 2.1. Thời gian thực hiện 3 2.2.Đánh giá thực trạng của sáng kiến khi áp dụng vào thực tế3 2.2.1.Đánh giá thực trạng 3 2.2.2. Những mặt còn hạn chế 3 2.2.3. Nguyên nhân đạt được và nguyên nhân còn hạn chế3 3. Giải pháp thực hiện 5 3.1. Căn cứ thực hiện 5 3.2. Nội dung, giải pháp và cách thức thực hiện: 6 3.2.1. Nội dung, phương pháp 6 3.2.2. Giải pháp thực hiện 6 4. Kết luận 31 4.1. Kết quả đạt được 31 4.2. Phạm vi áp dụng, vận dụng vào thực tiễn 32
2. 2 1. PHẦN MỞ ĐẦU 1.1. Lý do chọn đề tài Trong chương trình môn toán trung học cơsở, chủ đềvề phương trình đóng một vai trò rất quan trọng, là hạt nhân của quá trình học toán. Một trong những đặcđiểm nổi bậc của môn toán lớp 9 là kiến thức về phương trình, trongđó có phương trình vô tỉ đóng một vai trò quan trọng trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi thi các cấp, bồi dưỡng sự phát triển về phẩm chất, năng lực theo định hướng mới. Từ khi ra trường đến nay, tôi luôn được phân công giảng dạy môn toánở khối lớp 9 và bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi môn toán 9 tại trường THCS An Hải. Qua việc giảng dạyởlớp 9 trong nhiều năm, tôi nhận thấy rằng học sinh rất ngại làm các dạng bài tập về phương trình, đặc biệt là phương trình vô tỉ. Nguyên nhân là do các em chưa nắm vững kiến thức về giải phương trình vô tỉ. Bên cạnhđó các chuyên đề, giải pháp đưa ra nhằm giúp các em làm các dạng bài tập về phương trình nói chung và phương trình vô tỉ nói riêng vẫn chưa đạt được một cách hiệu quả cao. Trong khiđó, nhà trường hiệnđang là trường đạt chuẩn quốc gia nênđòi hỏi tỉlệhọc sinh yếu kém không quá 5%ở tất cả các môn học. Xuất phát từ những lí do trên, tôi quyết định chọn làm đề tài sáng kiến “ Giúp học sinh lớp 9 rèn kỹnăng giải phương trình vô tỉ ” nhằm với mục đích giúp các em có được phương phápđúng đắn khi giải phương trình và hạn chế được học sinh yếu kém, đồng thời cũng giúp đội tuyển học sinh giỏi có thêm tài liệu để ôn luyện, từ đó tham gia các kỳ thi học sinh giỏi các cấp đạt kết quả cao hơn. Sáng kiến được tiến hànhởlớp 9A và đội tuyển học sinh giỏi môn toán 9 trong năm học 2021- 2022, tại trường trung học cơsở An Hải. Sau một thời gian áp dụng sáng kiến vào việc giảng dạy, tôi thấy kết quả mang lại là khá cao. 1.2. Mụcđích, nhiệm vụcủa sáng kiến kinh nghiệm. 1.2.1. Mụcđích của sáng kiến Nhằm giúp học sinh khối lớp 9 và đội tuyển học sinh giỏi trường trung
3. 3 học cơsở An Hải giải được các dạng toán về phương trình vô tỉ, từ đó góp phần giảm tỉlệhọc sinh yếu, kém; đồng thời nâng cao chất lượng dạy và học môn toánở trường tôi và các trường khác trên địa bàn huyện. 1.2.2. Nhiệm vụcủa sáng kiến Tìm hiểu thực trạng của học sinh trong khối lớp 9 và đội tuyển học sinh giỏi. Từ đó, đề ra những giải pháp phù hợp với học sinh nhằm giúp các em tìm ra được cách giải các bài tập về phương trình vô tỉ nói riêng và phương pháp học môn toán nói chung. Tổng kết,đánh giá các biện pháp đưa ra áp dụng tác động đến đối tượng nghiên cứu để đi đến những kết luận có tính khả thi cao. Từ đó tổng hợp thành bài học kinh nghiệm của bản thân trong giảng dạy những năm học sau này.
4. 4 2. NỘI DUNG 2.1.Thời gian thực hiện: Sáng kiến được thực hiện trong năm học 2021- 2022 là từ tháng 9 năm 2021 đến tháng 02 năm 2022. 2.2.Đánh giá thực trạng của sáng kiến khi áp dụng vào thực tế. 2.2.1. Kết quả đạt được: Khi chưa áp dụng sáng kiến này vào công tác giảng dạy, tôiđã thực hiện việc khảo sát môn toánởlớp 9A và đội tuyển học sinh giỏi trong đầu học kì I của năm học 2021 - 2022. Kết quả cho thấy sốlượng học sinh yếu, kém trong việc giải phương trình chiếm tỉlệ khá cao.Đa phần những em học sinh này đều không làm được các bài tập liên quan đến giải phương trình, đặc biệt là phương trình vô tỉ. Sau khi áp dụng sáng kiến vào công tác giảng dạy. Tôi thấy học sinh tiếp nhận kiến thức một cách thoải mái, chủ động, rõ ràng. Các emđã nhận dạng được các bài toán liên quan đến phương trình vô tỉmột cách nhanh chóng, từ đóđã giải được hầu hết các dạng bài tập liên quan đến phương trình vô tỉ, xóa đi cảm giác khó và phức tạp ban đầu không có quy tắc tổng quát. 2.2.2. Những mặt còn hạn chế: Qua quá trình giảng dạy, tôi nhận thấy vẫn còn tồn tại học sinh yếu trong tính toán, kĩnăng quan sát, nhận xét, biến đổi và thực hành giải toán. Nhiều phụ huynh vẫn chưa thực sự quan tâm đến việc học của con em. Nên khi áp dụng sáng kiến vào giảng dạy gặp rất nhiều khó khăn. Các em vẫn chưa phát huy hết kết quả mà sáng kiến mang lại. 2.2.3. Nguyên nhân đạt được và nguyên nhân hạn chếcủa sáng kiến. - Nguyên nhân đạt được + Luôn được sự quan tâm của lãnh đạo Phòng giáo dục vàđào tạo, Ban giám hiệu nhà trường trong phong trào học sinh giỏi, giáo viên giỏi; chỉ đạo công tác giáo dục sát với tình hình của lớp, của trường. + Sự giúp đỡ,đoàn kết, phối hợp của đồng nghiệp; hợp tác của học sinh và phụ huynh trong dạy học.
5. 5 + Thường xuyên thay đổi phương pháp, hình thức dạy học theo định hướng phát triển năng lực, phẩm chất của học sinh; Đồng thời trong quá trình thực hiện sáng kiến, bản thân cũng luôn tăng cường việc phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh. + Giáo viên và học sinhđã xác địnhđúng mục tiêu, tạo động cơ, hứng thú say mê, yêu thích dạy học bộ môn toán. - Nguyên nhân hạn chếcủa sáng kiến. + Học sinh phần lớn là do mất kiến thức cơbảnở các lớp dưới, nhất là chưa chủ động học tập. + Tình hình dịch bệnh phức tạp và kéo dài cũng làmảnh hưởng đến việc áp dụng sáng kiến. + Các em chưa quen với phương pháp học mới. + Học sinh của trườngđa phần là con em nông dân, lao động nghèo ít cóđiều kiện đầu tư việc học. Một số phụ huynh lạiđi làmăn xa(Gia Lai, Ninh Hiển, ...) ít quan tâm đến việc học của con em, khoán trắng việc học tập của con em họ cho giáo viên và nhà trường. + Sự phát triển, bùng nổcủa công nghệ thông tin với internet,điện thoại thông minh, với dịch vụ vui chơi, giải trí hấp dẫnđã lôi cuốn các em làm các em sao lãng việc học.
6. 6 3. GIẢI PHÁP THỰC HIỆN 3.1. Căn cứ thực hiện: Trong hoạt động giáo dục hiện nayđòi hỏi học sinh cần phải tựhọc, tự nghiên cứu rất cao. Tức là cáiđích cần phải biến quá trình giáo dục thành quá trình tự giáo dục. Nhưvậy học sinh có thể phát huy được năng lực sáng tạo, tư duy khoa học từ đó xử lý linh hoạt được các vấn đềcủa đời sống xã hội. Một trong những phương pháp đểhọc sinh đạt đượcđiềuđó đối với môn Toán,đó là khích lệ các em sau khi tiếp thu thêm một lượng kiến thức các em cần khắc sâu tìm tòi những bài toán liên quan. Để làm được nhưvậy thì giáo viên cần gợi lên sự say mê học tập, tự nghiên cứu,đào sâu kiến thức của các em học sinh. Dạng toán về phương trình vô tỉ là một dạng toán khó và rất quan trọng của môn đại số, đặc biệt phương trình vô tỉ còn là một chuyên đề không thể thiếu của học sinh giỏi lớp 9 trong các cuộc thi học sinh giỏi các cấp, thi vào lớp 10, nó còn là nền tảng làm cơsở đểhọc sinh học tiếp các chương trình sau này khi chuyển cấp. Vềcơsởvật chất của nhà trường thì đảm bảo cho việc giảng dạy, Ban giám hiệu nhà trường thì luôn quan tâm tạođiều kiện cho giáo viên trong việc giảng dạy. Tuy nhiên do thuộc khu vực Hải Đảo nên việc học của học sinh nhiều phụ huynh vẫn chưa quan tâm lắm, vẫn còn nhiều học sinh chưa yêu thích môn toán vì thấy khó và nhất là cảm thấy khó trong các bài toán giải phương trình vô tỉ. Vấn đề đặt ra là làm thế nào đểhọc sinh giải được các dạng toán về phương trình vô tỉmột cách chính xác, nhanh chóng và đạt hiệu quả cao, đặc biệt là đội tuyển học sinh giỏi lớp 9. Để thực hiện tốtđiều này, giáo viên cần xây dựng cho học sinh những kĩnăng như quan sát, nhận xét,đánh giá bài toán, đặc biệt kĩnăng giải toán, kĩnăng vận dụng bài toán, tuỳ theo từng đốí tượng học sinh mà xây dựng cách giải cho phù hợp trên cơsở các phương phápđã học và các cách giải khác, để giúp học sinh học tốt.
7. 7 3.2. Nội dung, giải pháp và cách thức thực hiện: 3.2.1. Nội dung, phương pháp: -Nội dung: Để thực hiện tốt kỹnăng giải phương trình vô tỉmột cách thành thạo trong thực hành giải toán, bản thânđã rèn luyện cho học sinh các kiến thức cơ bản sau: + Củng cốlại các phép tính, các phép biến đổi, quy tắc dấu và quy tắc dấu ngoặc, các hằng đẳng thứcđáng nhớ, phương pháp phân tíchđa thức thành nhân tử, giải phương trình quy vềbậc nhất, bất phương trình + Ngay từ đầu chương trình Đại sốlớp 9, bản thân rất chú trọng dạy tốt cho học sinh nắm vững kiến thức vềcăn bậc hai và các phép biến đổi vềcăn bậc hai. + Đặc biệt sáng kiếnđã cung cấp cho học sinh nắm vững các kiến thức, phương pháp và kỹnăng giải các dạng toán về phương trình vô tỉ. - Phương pháp thực hiện: Khi thực hiện đề tài vào giảng dạy, do đặc thù các dạng bài tập về phương trình vô tỉrất phong phú vàđa dạng,đòi hỏi sự linh hoạt trong quá trình vận dụng và truyền đạt phương pháp. Dođó tôiđã hướng dẫn học sinh bằng cách đưa ra các hệ thống bài tập theo các mức độ rèn luyện minh hoạtừ dễ đến khó, nhằm bồi dưỡng học sinh phát triển kỹnăng từ biết làm đến đạt mềm dẻo, linh hoạt và sáng tạo. Đểbồi dưỡng mỗi dạng toán tôi thường thực hiện theo các bước sau: Bước 1 : Đưa ra các dạng toán Bước 2 : Ôn lại các kiến thức liên quan và đưa ra phương pháp giải Bước 3: Giới thiệu bài tập mẫu. Bước 4: Học sinh tự luyện và nâng cao. 3.2.2. Giải pháp thực hiện Khi áp dụng đề tài vào giảng dạy, bản thânđã hướng dẫn học sinh các dạng toán giải phương trình vô tỉ sau:
8. 8 Dạng 1: Phương trình dạng ()()fx g x (trongđó: f(x) tốiđa là bậc ba, g(x) làđa thức bậc nhất) a.Kiến thức liên quan Để giải được phương trình vô tỉdạng này, tôiđã ôn lại các kiến thức liên quan sau: - Cách giải bất phương trình bậc nhất mộtẩn. - Phân tíchđa thức thành nhân tử, đặc biệt là phương pháp tách hạng tử đối vớiđa thức ax2 bx c. - Cách giải phương trình bậc nhất ax + b = 0 (a 0) - Phương trình tích A(x).B(x) = 0  A(x) = 0 hoặc B(x) = 0 b.Phương pháp giải: Để giải phương trình vô tỉdạng này ta dùng phương pháp nâng lũy thừa: ()()fx f g( x x ) 0  g( x ) 0  2   f()() x g x c.Các ví dụ minh họa: Ví dụ1. Giải phương trình sau 2 5 4 xx Hướng dẫn 2x  5  0  x  4 Điều kiện : x 4  0 Khiđó : 2 5 4xx 2x – 5 = ( 4)x2   2x – 5 = 2 8 16xx  2 10 21 0 xx  (x – 3)(x – 7) = 0  x = 3 (loại) hoặc x = 7 (nhận) Vậy phương trìnhđã cho có tập nghiệm là S = 7 
9. 9 Ví dụ2. Giải phương trình sau 22 2 6 5  xx x Hướng dẫn x2  2x60    (x1) 2  50mäi  x   x  -5 Điều kiện : x 5  0  x  -5 2 2 Khiđó 22 2 6 54(x    2xxx  6)  (x  x 5)  4x2  8x  24  x2 + 10x + 25  3x2 2x 1 0   (x – 1)(3x + 1) = 0 1  x = 1 hoặc x = 3 (thỏa mãn) 1  1;  Vậy phương trìnhđã cho có tập nghiệm là S = 3  Ví dụ3. Giải phương trình sau x3 2x 2 1 x 1   Hướng dẫn x3 2x 2  1  0  Điều kiện : x  1 3 2 2 Khiđó : x3 2x 2 1 x 1 x  2x  1 (x 1)    x3 x 2 2x 0   x(x2 x 2) 0   x(x + 2)(x – 1) = 0  x = 0 hoặc x = -2 hoặcx=1 Thửlạiđiều kiện ta thấy x = 0 ; x = 1 là thỏa mãn. Vậy tập nghiệm của phương trình là S 0; 1  d. Bài tập tương tự Bài 1. Giải các phương trình sau a/ 3x 2 x 2;  b/ x x 11 1  c/ 5x 11 3 x;  d/ 5 x 2x 7  S 6  S 5  S 1; 2  11  S   Đáp số : a/ ; b/ ; c/ ; d/ 4 
10. 10 Bài 2. Giải các phương trình sau a/ 3x2 x 11 2x 1; b/ x 2 7x 11 2x 3   S 5  1  S   Đáp số : a/ ; b/ 3  Bài 3. Giải các phương trình sau a/ x3 3x 5 2x 1 b/ x3 4x 2 4 x 2   Đáp số : a/ S 1;4  ; b/ S 4  2 2 2 Dạng 2. Phương trình dạng f(x) mhoặc f(x) g(x) m (với m  0) a.Kiến thức liên quan Để giải được phương trình vô tỉdạng này, tôiđã ôn lại các kiến thức liên quan sau: - Cách giải phương trình chứa dấu giá trị truyệt đối ax b cx d  - Cách giải bất phương trình bậc nhất mộtẩn. -Hằng đẳng thức bình phương của một tổng và một hiệu, cách thức biến đổi để đưa vềhằng đẳng thức. f(x) khi f(x) 0 f(x)   - Quy tắc bỏdấu giá trị tuyệt đối f(x) khi f(x) < 0 b.Phương pháp giải Để giải phương trình dạng này, tôiđã hướng dẫn học sinh cách giải như sau : f(x)2 m f(x) m f(x) = m nÕuf(x) 0     nÕuf(x) < 0f(x) m f(x)2 g(x) 2 mf(x) g(x) mf(x) g(x)  m nÕuf(x)  0   f(x)+ g(x)  m nÕuf(x) < 0
11. 11 c. Các ví dụ minh họa Ví dụ1 : Giải phương trình sau 2xx 4 6 2 5 2   Hướng dẫn 0 5  Điều kiện : 2x – 5  x 2 Khiđó : 2xx 4 6 2 5 2  2x  5 2.3. 2x  5 9 2 2 2x 5 3  2    2x 5 3 2   (1) + Nếu 2x 5 3 0 x 7 Khiđó (1)  2x 5 3 2  2x 5 5  2x – 5 = 25  x = 15 (nhận) 5 2x 5 3 0 x 7 x  7 + Nếu .Kết hợpđiều kiện thì 2 Khiđó (1)  2x 5  3 2  2x 5 1  2x – 5 = 1  x = 3 (nhận) Vậy phương trình có tập nghiệm S 3;15  Ví dụ2 : Giải phương trình sau x12x2    x12x21     Hướng dân Điều kiện : x 2 Khiđó : x12x2    x12x21      x22x21     x22x21     1 2 2 x 2  1  x  2  1  1      x 2 1 x 2 1 x 2 1 0     = 1 (vì với x 2) + Nếu x 2  1  0  x  3 x 2 1 x 2 1 x 2 1 x  2 1 1 Khiđó:   = 1  (vô nghiệm) 2 x 3 + Nếu x 2  1  0  x  3.Kết hợpđiều kiện thì 
12. 12 x 2 1 x 2 1 x 2 1 x 2 1 1     Khiđó : = 1     1 1 9 x 2   2  x – 2 = 4  x = 4 (thỏa mãn) 9  S   Vậy tập nghiệm của phương trình là 4  Ví dụ3 : Giải phương trình sau x 3  4 x  1  x  2 x  1  3 Hướng dẫn Điều kiện : x 1 Khiđó : x 3  4 x  1  x  2 x  1  3  x14x14     x12x11      3 2 2 x 1  2  x  1  1  3      x 1 2 x 1 1 3 x 1 1 0   ( vì     khi x 1) + Nếu x 1  2  0  x  1  2  x  5 x 1 2 x 1 1 3 x 1 2 x 1 1 3     Khiđó :       x 1 2 x = 5 (thỏa mãn) 1 x 5 + Nếu x 1 2 0 x 5.Kết h ợpđ iều ki ện ban đầu, ta có . x 1 2 x 1 1 3 Khiđó :       x  1  2  x  1  1  3  0. x 1= 0  x 1.Kết hợpđiều kiện, ta có 1 x 5 Kết hợp cả 2 trường hợp. Khiđó tập nghiệm của phương trình là S x R / 1 x 5    d. Bài tập tương tự Bài 1 : Giải các phương trình sau a/ 2x 22 10 2x 3 3; b/ 3x   2 3x 1 1  7 67  1 5  S;   S;   Đáp án : a/ 2 2  ; b/ 3 3 
13. 13 Bài 2 : Giải các phương trình sau a/ x12x2    x76x24     ; b/ x2 x  1  x  2 x  1  2 c/ x 4 x  4  x  3  2 x  4  3; d/ 2x 4  6 2 x  5  2 x  4  2 2x  5 4 Đáp án : a/ S x R / 2 x 4 ; b/S x  R  / 1 x 2    S x R / 4 x 8    5  S x  R /  x  3  c/ ; d/ 2  Dạng 3. Phương trình dạng f(x) g(x) (trongđó f(x), g(x) cao nhất là bậc hai) a.Phương pháp giải Để giải phương trình vô tỉdạng này, trước tiên ta phải tìmđiều kiện của x để f(x)  0, g(x)  0 sauđó dùng phương pháp nâng lũy thừa. f(x) g(x) f(x) 0  g(x) 0  f(x) g(x) b. Các ví dụ minh họa Ví dụ 1. Giải phương trình sau 2x2 2x 3 3x 9   Hướng dẫn 2x2  2x  3  0  x   3 Điều kiện : 3x 9  0 2 Khiđó : 2x2 2x 3 3x 9 2x  2x  3 3x 9    2x2 x 6 0   (2x + 3)(x – 2) = 0  2x + 3 = 0 hoặc x – 2 = 0 3 x   2 hoặc x = 2 (thỏa mãn) 3  S  2;  Vậy tập nghiệm của phương trình là 2 
14. 14 Ví dụ 2. Giải phương trình sau 2x2 x 5 x2 3   Hướng dẫn 2x2  x  5  0  2 Điều kiện : x 3  0 2 2 Khiđó : 2x2 x 5 x2 3 2x  x  5 x 3    x2 x 2 0   (x – 1)(x + 2) = 0  x = 1 hoặc x = -2 Thửlạiđiều kiện, ta thấy x = -2 là thỏa mãn. Vậy tập nghiệm của phương trình là S 2  c. Bài tập tương tự Bài 1. Giải các phương trình sau a/ 3x2 4x 1 3x 1;  b/ x2 x 7 2x 3   2  S 5  S   Đáp án : a/ 3  ; b/ Bài 2. Giải các phương trình sau a/ 2x2 3x 5 x2 4x 7; b/ 3x 2 5x  1 2x2 3   Đáp án : a/ S 3; 4 ; b/ S 4   Dạng 4. Phương trình dạng f(x) g(x) m(với m 0) (trongđó : f(x) = ax2 bx c, g(x) = a'x2 b'x c'và a = a’) a.Phương pháp giải Để giải phương trình vô tỉdạng này, trước tiên ta phải tìmđiều kiện của x để f(x)  0, g(x)  0 sauđó dùng phương pháp nâng lũy thừa. f(x) g(x) mf(x) 0  g(x) 0  2 f(x) g(x)  2m g(x)  m
15. 15 b. Các ví dụ minh họa Ví dụ1: Giải phương trình sau 3x2  5x  8  3x2  5x  1  1 Hướng dẫn 2 2 Điều kiện: 3x 5x  8  0;3x  5x  1  0 Khiđó : 3x2  5x  8  3x2  5x  1  1  3x2  5x  8  3x2  5x  1  2 3x2  5x 1  1  3x2  5x  1  3  3x2 5x 1 9   (x – 1)(3x + 8) = 0 8  x = 1 hoặc 3 Thửlại ta thấy các nghiệm trên đều thỏa mãn phương trình 8  S  1;  Vậy tập nghiệm của phương trình là 3  Ví dụ2 : Giải phương trình sau x2 8 x 2 3x 6 5    Hướng dẫn Điều kiện : x  R Khiđó : x2 8 x 2 3x 6 5     x2 3x 6 5 x2 8    => x2 3x6x   2  82510x  2  8  10 x2 8 3x 27   91x2 162x 71 0(Với x 9)  (x – 1)(91x – 71) = 0 71 x   x = 1 hoặc 91 Thửlại, ta thấy các nghiệm đều thỏa mãn 71  S  1;  Vậy tập nghiệm của phương trình là 91 
16. 16 c. Bài tập tương tự Giải các phương trình sau a/ x2  2x  6  x2  x  2  1 ; b/ 5x2 4x 5x 2 2x 1 1    1  5  S  1;  S   Đáp số: a/ 3  ; b/ 4  Dạng 5. Phương trình dạng f(x) g(x) h(x) (trongđó f(x), g(x), h(x) làđa thức bậc nhất) a. Phương pháp giải Để giải phương trình dạng này, trước tiên ta phải tìmđiều kiện của x để f(x)  0, g(x)  0 và h(x)  0 sauđó dùng phương pháp nâng lũy thừa.  f() x 0, g () x  0,() h x  0 f()()() x g x  h x    f() x g ()2 x  f ().() x g x  h () x b. Các ví dụ minh họa Ví dụ 1. Giải phương trình: 1 2 1 4   xx x Hướng dẫn 1 4  x Điều kiện: 2 Khiđó: 1 2 1 4   xx x 12 x  1  x  2(12)(1  x  x )  x  4  2x2 3x 1 2x 1   2x2 3x 1 (2x 1)2 1  x   (điều kiện 2 ) 4x2 7x 0 1 1  x   (Với 2 2 )  x(x + 7) = 0  x = 0 (nhận) hoặc x = -7 (loại) Vậy tập nghiệm của phương trình là S 0 
17. 17 Ví dụ2. Giải phương trình sau x 3 7 x 2x 8    Hướng dẫn Điều kiện : 4 x 7 Khiđó : x 3 7 x 2x 8     x 3 2x 8 7 x     x + 3 = 2x – 8 + 2 (2x 8)(7 x)+ 7 – x  (2x 8)(7 x) 2   2x2 22x 56 4    x2 11x 30 0   (x – 5)(x – 6) = 0  x = 5 hoặc x = 6 (thỏa mãn) Vậy tập nghiệm của phương trình là S 5;6  c. Bài tập tương tự Bài 1. Giải các phương trình sau a/ x 4x 3 3x 1; b/ 12  7 1   xx x S 1  44  S  ;8  Đáp án : a/ , b/ 5  Bài 2. Giải các phương trình sau a/ 5x 1 x 1 3x 1b/  3x 1  x 2x 1   Đáp án : a/ S 1 , b/ S 1  Dạng 6. Phương trình dạng ax b cx da'x b' +  c'x d' (Với a + c = a’ + c’) a. Phương pháp giải Để giải phương trình dạng này, trước tiên ta phải tìmđiều kiện của x để phương trình xác định, sauđó dùng phương pháp nâng lũy thừa.
18. 18 b. Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Giải phương trình sau x x1 x 4 x 9 0      Hướng dẫn Điều kiện : x  0 Ta có : x x1 x 4 x 9 0      x  x 9  x  1  x  4 x  x 9  2 x2  9 x  x  1  x  4 2 x2 5 x  4 2 2  9  2  5xx 4 x x 4  4x2  9 x  x 2  9 x  x2  5 x  4 x2 9 x   x x  0  2 2 x  0 x9 x  x Vậy tập nghiệm của phương trình là S 0  Ví dụ2: Giải phương trình 5x 2  2x  1  6x  1  3x  2 Hướng dẫn 1 x  Điều kiện : 2 Khiđó : 5x 2  2x  1  6x  1  3x  2  5x 2  3x  2  6x  1  2x  1 => 5x – 2 + 3x + 2 – 2 (5x 2)(3x 2)=6x+1+2x–1–2 (6x 1)(2x 1)  (5x 2)(3x 2)= (6x 1)(2x 1)  (5x – 2)(3x + 2) = (6x + 1)(2x – 1)  15x2 4x 4= 12x2 4x 1  3x2 8x 3 0   (3x – 1)(x + 3) = 0 1  x = - 3 (loại) hoặc x = 3 (nhận) 1  S   Vậy tập nghiệm của phương trình là 3 
19. 19 c. Bài tập tương tự Bài 1 : Giải các phương trình sau a/ 3x 7  x  2x  1  2x  6 ; b/ 5x 4  3x  2  6x  5  2x  1 Đáp án : a/ Vô nghiệm ; b/ S 1  Bài 2 : Giải các phương trình sau a/ 3x1  x2   6x4   4x3  ; b/ 3 x  3x  1  2 x  2x  2 5  S 1  S   Đáp án : a/ 3  ; b/ Dạng 7. Phương trình dạng a.f(x) b f(x) c 0  a. Phương pháp giải Với phương trình trên trước tiên ta phải tìmđiều kiện f(x)  0, sauđó giải  phương trình bằng cách đặtẩn phụt= f(x) (với t 0) rồi đưa về phương trình bậc hai theoẩn t. b. Các ví dụ minh họa Ví dụ1 : Giải các phương trình a/ 6x2 + 15x+ 22 5 1 1; b/xxx24 x 3 x 2 4 x 8 18    Hướng dẫn a/Điều kiện: 22 5 1 0xx  6x2 + 15x+ 22 5 1 1 xx  3(2x2 5 x 1) 2 x2 5 x 1 4 (1)    2  Đặt 2 5 1xx= t ( t0) . Khiđó (1) trở thành 3t 2 + t – 4 = 0  (3t + 4)(t – 1) = 0 4  t = 1 (nhận) hoặc t = 3 (loại)  Với t = 1 ta có 22 5 1xx= 1 2x2 + 5x + 1 = 1  2x2 + 5x = 0
20. 20   5  x(2x + 5) = 0 x = 0 hoặc x = 2 Thửlại ta thấy cả hai nghiệm đều thỏa mãnđiều kiện. 5  Vậy phương trìnhđã cho có 2 nghiệm x 1 = 0 ; x2 = 2 b/Điều kiện: 2 4 8 0xx   x24 x 3 x 2 4 x 8 18 x 2 4  x 8 3 x2 4 x 8 10  0 (2)     2  Đặt 4 8xx= t ( t0). Khiđó : (2) trở thành t 2 + 3t – 10 = 0  (t – 2)(t + 5) = 0  t = 2 (nhận) hoặc t = - 5(loại)  Với t = 2 ta có 2 4 8xx= 2 x2 - 4x - 8 = 4  x2 4x 12 0   (x – 6)(x + 2) = 0  x = 6 hoặc x = -2 Thửlạiđiều kiện, ta thấy các nghiệmđiều thỏa mãn. Vậy phương trìnhđã cho có 2 nghiệm x 1 = 6 ; x2 = -2 Ví dụ2 : Giải phương trình (x + 5)(2 – x) = 3 x2 3x Hướng dẫn Điều kiện : x2 3x 0 Khiđó : (x + 5)(2 – x) = 3 x2 3x  x2  3x  10  3 x2  3x  (x2 3x)  3x 2  3x  10  0 ( 1) 2 Đặt t = x2 3x (với t 0). Khiđó (1) trở thành t 3t 10 0   (t + 5)(t – 2) = 0  t = - 5(loại) hoặc t = 2 (nhận) 2 Với t = 2, ta có x2 3x= 2  x 3x 4 (x – 1)(x + 4) = 0  x = 1 hoặc x = -4 Thửlạiđiều kiện, ta thấy hai nghiệm trên đều thỏa mãn Vậy tập nghiệm của phương trình là S 4;1 