Sáng kiến kinh nghiệm Giúp học sinh Lớp 9 rèn kỹ năng tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Giúp học sinh Lớp 9 rèn kỹ năng tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức

1. MỤC LỤC Nội dung Trang 1. Phần mở đầu 1 1.1. Lý do chọn đề tài 1 1.2. Mụcđích, nhiệm vụcủa sáng kiến kinh nghiệm. 2 1.2.1. Mụcđích của sáng kiến 2 1.2.2. Nhiệm vụcủa sáng kiến 2 2. Nội dung 3 2.1. Thời gian thực hiện 3 2.2.Đánh giá thực trạng của sáng kiến khi áp dụng vào thực tế3 2.2.1. Kết quả đạt được 3 2.2.2. Những mặt còn hạn chế 4 2.2.3. Nguyên nhân đạt được và nguyên nhân còn hạn chế4 3. Giải pháp thực hiện 6 3.1. Căn cứ thực hiện 6 3.2. Nội dung, giải pháp và cách thức thực hiện: 7 3.2.1. Nội dung, phương pháp 7 3.2.2. Giải pháp thực hiện 9 4. Kết luận 31 4.1. Kết quả đạt được 31 4.2. Phạm vi áp dụng, vận dụng vào thực tiễn 31
2. 2 1. PHẦN MỞ ĐẦU 1.1. Lý do chọn đề tài Trong chương trình môn toán nói chung và môn toánởbậc trung học cơ sở nói riêng, kiến thức vềbất đẳng thứcđóng một vai trò rất quan trọng. Một trong nhữngứng dụng nổi bậc nhất của bất đẳng thứcđó là dạng toán về tìm giá trị nhỏ nhất, giá trịlớn nhất của một biểu thức. Dạng toán vềcực trị (tìm giá trị nhỏ nhất, giá trịlớn nhất) là một đề tài lí thú của Đại số,đã lôi cuốn nhiều người. Mỗi bài toán, vớiđiều kiện riêng của nó,đòi hỏi một cách giải riêng phù hợp.Điềuđó có tác dụng rèn luyện tư duy toán học mềm dẻo, linh hoạt và sáng tạo. Chính vì thế mà các bài toán về tìm giá trị nhỏ nhất, giá trịlớn nhất của biểu thức đại số thường có mặt trong các bài kiểm tra cuối kỳ, các kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10, thi học sinh giỏi về môn toánởlớp 9. Qua nhiều năm giảng dạy môn toánở khối lớp 9 và bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi môn toán 9 tại trường THCS An Hải, tôi nhận thấy rằng học sinh rất ngại làm các dạng bài tập vềbất đẳng thức, đặc biệt là dạng bài toán về tìm giá trị nhỏ nhất, giá trịlớn nhất của biểu thức. Nguyên nhân là do các em chưa nắm vững kiến thức, phương pháp giải về cách tìm giá trị nhỏ nhất, giá trịlớn nhất của biểu thức. Bên cạnhđó các chuyên đề, giải pháp đưa ra nhằm giúp các em làm các dạng bài tập vềbất đẳng thức nói chung và tìm giá trịlớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức nói riêng vẫn chưa đạt được một cách hiệu quả cao. Xuất phát từ những lí do trên, tôi quyết định chọn làm sáng kiến “ Giúp học sinh lớp 9 rèn kỹnăng tìm giá trị nhỏ nhất, giá trịlớn nhất của biểu thức ” nhằm với mụcđích giúp các em có được phương phápđúng đắn khi giải dạng toán về tìm giá trị nhỏ nhất, giá trịlớn nhất của biểu thức, đồng thời cũng giúp các em học sinh lớp 9 trên địa bàn tỉnh có thêm tài liệu để ôn luyện thi vào 10, cũng như tham gia các kỳ thi học sinh giỏi các cấp đạt kết quả cao hơn.
3. 3 1.2. Mụcđích, nhiệm vụcủa sáng kiến. 1.2.1. Mụcđích của sáng kiến Nhằm giúp học sinh khối lớp 9 và đội tuyển học sinh giỏi trường THCS An Hải và các trường khác trên địa bàn tỉnh giải được các dạng toán về tìm giá trị nhỏ nhất, giá trịlớn nhất của biểu thức, từ đó góp phần nâng cao chất lượng thi vào lớp 10, thi học sinh giỏi; đồng thời nâng cao chất lượng dạy và học môn toánở trường tôi công tác và các trường khác trên địa bàn tỉnh. 1.2.2. Nhiệm vụcủa sáng kiến Tìm hiểu thực trạng của học sinh trong khối lớp 9 và đội tuyển học sinh giỏi. Từ đó, đề ra những giải pháp phù hợp với học sinh nhằm giúp các em tìm ra được cách giải các bài tập về tìm giá trị nhỏ nhất, giá trịlớn nhất của biểu thức nói riêng và phương pháp học môn toán nói chung. Tổng kết,đánh giá các biện pháp đưa ra áp dụng tác động đến đối tượng nghiên cứu để đi đến những kết luận có tính khả thi cao. Từ đó tổng hợp thành bài học kinh nghiệm của bản thân trong giảng dạy trong những năm học sau này.
4. 4 2. NỘI DUNG 2.1.Thời gian thực hiện: Sáng kiến được thực hiện trong năm học 2022- 2023 là từ tháng 10 năm 2022 đến tháng 02 năm 2023 và tiếp tục áp dụng cho những năm học tiếp theo. 2.2.Đánh giá thực trạng của sáng kiến khi áp dụng vào thực tế. 2.2.1. Kết quả đạt được: Khi chưa áp dụng sáng kiến này vào công tác giảng dạy, tôiđã thực hiện việc khảo sát môn toánởmột sốlớp của khối lớp 9 và đội tuyển học sinh giỏi tại trường THCS An Hải trong đầu học kì I của năm học 2022 – 2023 về bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trịlớn nhất của biểu thức. Kết quả khảo sát như sau: Kết quả khảo sát trước khi áp dụng sáng kiến Học sinh Tổng Giỏi Khá TB Yếu số HS SL % SL % SL % SL % 9A 32 3 9,4 8 25 17 53,1 4 12,5 9B 29 2 6,9 7 24,1 16 55,2 4 13,8 Đội tuyển 8 3 37,5 5 62,5 0 0 0 0 HSG toán 9 Kết quả cho thấy sốlượng học sinh chưa giải được chiếm tỉlệ khá cao. Đa phần những em học sinh này đều không có phương pháp giảiđúng đắn về các bài tập liên quan đến bất đẳng thức, đặc biệt là dạng toán về tìm giá trị nhỏ nhất, giá trịlớn nhất của biểu thức. Sau khi áp dụng sáng kiến vào công tác giảng dạy tại đơn vị, tôi nhận thấy rằng học sinh tiếp nhận kiến thức vềdạng bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trịlớn nhất của biểu thức một cách thoải mái, chủ động, rõ ràng. Các em đã nhận dạng được các bài toán liên quan đến tìm giá trị nhỏ nhất, giá trịlớn nhất của biểu thức một cách nhanh chóng, từ đóđã giải được hầu hết các dạng bài tập liên quan đến tìm giá trị nhỏ nhất, giá trịlớn nhất của biểu thứcởbậc trung học cơsở, xóađi cảm giác khó và phức tạp ban đầu không có phương
5. 5 pháp giải cụ thể. Để biết được hiệu quả áp dụng tại đơn vị, tôiđã tiến hành khảo sát và thu được kết quả sau: Kết quả khảo sát sau khi áp dụng sáng kiến Học sinh Tổng Giỏi Khá TB Yếu số HS SL % SL % SL % SL % 9A 32 8 25 14 43,8 10 31,2 0 0 9B 29 7 24,1 12 41,4 10 34,5 0 0 Đội tuyển 0 HSG toán 9 8 7 87,5 1 12,5 0 0 0 Với kết quả trên cho thấy sốlượng học sinh giải được các dạng toán về tìm giá trị nhỏ nhất, giá trịlớn nhất của biểu thức sau khi áp dụng sáng kiến vào giảng dạyđã tăng lên rất nhiều, sáng kiếnđã góp phần nâng cao chất lượng giáo dục của nhà trường. 2.2.2. Những mặt còn hạn chế: Qua quá trình giảng dạy, tôi nhận thấy vẫn còn tồn tại học sinh yếu trong tính toán, kĩnăng quan sát, nhận xét, biến đổi và thực hành giải toán. Một số phụ huynh trên địa bàn huyện Lý Sơn vẫn chưa thực sự quan tâm đến việc học của con em. Nên khi áp dụng sáng kiến vào giảng dạy gặp rất nhiều khó khăn. Các em vẫn chưa phát huy hết kết quả mà sáng kiến mang lại. 2.2.3. Nguyên nhân đạt được và nguyên nhân hạn chếcủa sáng kiến. - Nguyên nhân đạt được + Luôn được sự quan tâm của lãnh đạo Phòng Giáo dục vàĐào tạo, Ban giám hiệu nhà trường trong phong trào thi học sinh giỏi, thi giáo viên dạy giỏi; phong trào phụ đạo học sinh lớp 9; Sự chỉ đạo công tác giáo dục sát với tình hình của lớp, của trường. + Sự giúp đỡ,đoàn kết, phối hợp của đồng nghiệp các trường trung học cơsở trên địa bàn tỉnh; hợp tác của học sinh và phụ huynh trong dạy học. + Thường xuyên thay đổi phương pháp, hình thức dạy học theo định hướng phát triển năng lực, phẩm chất của học sinh; Đồng thời trong quá trình
6. 6 thực hiện sáng kiến, bản thân cũng luôn tăng cường việc phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh. + Giáo viên và học sinhđã xác địnhđúng mục tiêu, tạo động cơ, hứng thú say mê, yêu thích dạy học bộ môn toán. - Nguyên nhân hạn chếcủa sáng kiến. + Học sinh phần lớn là do chưa nắm vững kiến thức cơbản vềbất đẳng thứcở các lớp dưới. + Các em chưa quen với phương pháp học mới. + Sự phát triển, bùng nổcủa công nghệ thông tin với internet,điện thoại thông minh, với dịch vụ vui chơi, giải trí hấp dẫnđã lôi cuốn các em, làm các em sao lãng việc học.
7. 7 3. GIẢI PHÁP THỰC HIỆN 3.1. Căn cứ thực hiện: Trong hoạt động giáo dục hiện nayđòi hỏi học sinh cần phải tựhọc, tự nghiên cứu rất cao. Tức là cáiđích cần phải biến quá trình giáo dục thành quá trình tự giáo dục. Nhưvậy học sinh có thể phát huy được năng lực sáng tạo, tư duy khoa học từ đó xử lý linh hoạt được các vấn đềcủa đời sống xã hội. Một trong những phương pháp đểhọc sinh đạt đượcđiềuđó đối với môn Toán,đó là khích lệ các em sau khi tiếp thu thêm một lượng kiến thức các em cần khắc sâu tìm tòi những bài toán liên quan. Để làm được nhưvậy thì giáo viên cần gợi lên sự say mê học tập, tự nghiên cứu,đào sâu kiến thức của các em học sinh. Dạng toán về tìm giá trị nhỏ nhất, giá trịlớn nhất của biểu thức là một dạng toán khó và rất quan trọng của môn đại số, đặc biệt dạng toán về tìm giá trị nhỏ nhất, giá trịlớn nhất của biểu thức còn là một chuyên đề không thể thiếu của học sinh lớp 9 trong các cuộc thi học sinh giỏi các cấp, thi vào lớp 10, nó còn là nền tảng làm cơsở đểhọc sinh học tiếp các chương trình sau này khi chuyển cấp. Vềcơsởvật chất của nhà trường thì đảm bảo cho việc giảng dạy, Ban giám hiệu nhà trường thì luôn quan tâm tạođiều kiện cho giáo viên trong việc giảng dạy. Bên cạnhđó, sự quan tâm, giúp đỡcủa đồng nghiệp, sự phối hợp của học sinhđã góp phần thuận lợi trong việc triển khai sáng kiến đến với học sinh. Vấn đề đặt ra là làm thế nào đểhọc sinh giải được các dạng toán về tìm giá trị nhỏ nhất, giá trịlớn nhất của biểu thức một cách chính xác, nhanh chóng và đạt hiệu quả cao, đặc biệt là đội tuyển học sinh giỏi lớp 9. Để thực hiện tốtđiều này, giáo viên cần xây dựng cho học sinh những kĩnăng như quan sát, nhận xét,đánh giá bài toán, đặc biệt là kĩnăng giải toán, kĩnăng vận dụng bài toán trong quá trình áp dụng sáng kiến, tuỳ theo từng đốí tượng học sinh mà xây dựng cách giải cho phù hợp trên cơsở các phương phápđã học và các cách giải khác, để giúp học sinh học tốt.
8. 8 3.2. Nội dung, giải pháp và cách thức thực hiện 3.2.1. Nội dung, phương pháp: -Nội dung: Để rèn luyện cho học sinh kỹnăng tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức một cách thành thạo trong thực hành giải toán, giáo viênđã ôn tập, rèn luyện cho học sinh các kiến thức của bất đẳng thức sau: + Tính đảo chiều. Với a, b  R, nếu a > b thì b < a. + Tính chất bắc cầu. Với a, b, c  R nếua>bvàb>cthìa>c. + Tính chất liên quan đến phép cộng và trừ: Với a, b, c  R nếu a < b thì a  c < b  c. + Tính chất liên quan đến phép nhân và chia. Với a, b, c  R. a b  Nếu c > 0 và a > b thì a.c > b.c và c c . a b  Nếu c b thì a.c < b.c và c c . + Tính chất nhân hai bất đẳng thức với nhau: Với a, b, c, d  R. Nếu a > b > 0 và c > d > 0 thì a.c > b.d. Nếu a > b > 0 và c < d < 0 thì a.c < b.d. + Tính chất nghịch đảo của bất đẳng thức: Với a, b  R.  1 1  Nếu a b và a.b > 0 thì a b . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b.  1 1  Nếu a b và a.b < 0 thì a b . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b. + Tính chất liên quan đến giá trị tuyệt đối.  Với a, b R, thì   ab.Dấu “=” a x bảy ra khi và chỉ khi ab 0.  Với a R, thì   aa.Dấu a “=” xảy ra khi và chỉ khi a = 0.  Với a R, thì 0.Da ấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = 0.   Với a R, thì aa.Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a 0.   Với a R, thì  aa.Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a 0. + Tính chất liên quan đến lũy thừa. Với a  R, thì a2n 0(n *N). Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = 0.
9. 9 + Bất đẳng thức Cauchy với 2 số thực không âm.  a b  ab Với a, b 0, thì 2 . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b. + Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki. 2 2 2 2 2 ax by  ( a b )( x y ) , dấu ‘‘ =  ’’ xảy ra  ay = bx. * Kiến thức về các bước giải bài toán tìm giá trịlớn nhất, giá trị nhỏ nhất. + Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A(x) trong tập xác định (TXĐ) D ta làm như sau:  Chứng minh A(x)  m với m là hằng số  Chỉ ra A(a) = m , (Với a  D)  Kết luận giá trị nhỏ nhất của A(x) là m. + Để tìm giá trịlớn nhất của biểu thức A(x) trong TXĐ D ta làm như sau:  Chứng minh A(x) Mvới M là hằng số  Chỉ ra A(b) = M, (b  D)  Kết luận giá trịlớn nhất của A(x) là M. Đặc biệt sáng kiếnđã cung cấp cho học sinh nắm vững các kiến thức, phương pháp và kỹnăng giải các dạng toán về tìm giá trị nhỏ nhất, giá trịlớn nhất của biểu thức. - Phương pháp thực hiện: Khi thực hiện sáng kiến vào giảng dạy, do đặc thù các dạng bài tập về tìm giá trị nhỏ nhất, giá trịlớn nhất của biểu thức rất phong phú vàđa dạng, đòi hỏi sự linh hoạt trong quá trình vận dụng và truyền đạt phương pháp. Do đó, giáo viên sẽhướng dẫn học sinh bằng cách đưa ra các hệ thống bài tập theo các mức độ rèn luyện minh hoạtừdễ đến khó, nhằm bồi dưỡng học sinh phát triển kỹnăng từ biết làm đến đạt mềm dẻo, linh hoạt và sáng tạo. Đểbồi dưỡng mỗi dạng toán giáo viên thường thực hiện theo các bước sau: Bước 1 : Đưa ra phương pháp giải. Bước 2 : Giới thiệu bài tập mẫu. Bước 3: Học sinh tự luyện và nâng cao.
10. 10 3.2.2. Giải pháp thực hiện Khi áp dụng sáng kiến vào giảng dạy, giáo viênđã hướng dẫn học sinh các dạng toán tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN), giá trịlớn nhất (GTLN) của biểu thức như sau: Dạng 1. Biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối ()()fx g x 2 2 A= hoặc A = ()()    fx g x a/ Phương pháp giải - Khi biểu thức chỉ có 2 giá trị tuyệt đối, ta thường dùng kiến thức sau để giải.  +)   AB. Khiđó A GTNN( B AB) = ABkhi và chỉ khi A.B 0. +) ABAB. Khiđó  GTLN( AB) = ABkhi và chỉ khi B(A – B) 0. - Khi biểu thức nhiều hơn 2 giá trị tuyệt đối, ta thường dùng kiến thức sau : ABAB  AB AB A  0  +) . Khiđó GTNN( ) = khi và chỉ khi B  0. - Trong quá trình biến đổi, để triệt tiêu biến thì ta cần linh động thay đổi dấu của biểu thức trong giá trị tuyệt đối. Lưu ý :   AB. B A b/ Các ví dụ Ví dụ1. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau. a/ A = 9 6; b/  Bxx = x5  x  2  x  7  x  8 Hướng dẫn a/ Ta có A = 9 6= 9 xx 69 xx 6 15   xx Khiđó: A = 15 khi và chỉ khi (9 – x)(x + 6)  0  6 9. x Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 15, đạt được khi 6 9. x b/ B = x5  x  2  x  7  x  8  = x5 x 2 7 x 8 x x  + 5  + x  + 2 + 7 – x + 8 – x = 22 x 5  0  x  5      x 2  0 x  2   7x  0 x  7 Khiđó B = 22 khi và chỉ khi 8x  0 x  8 - 2 x 7 Vậy GTNN B = 22 khi - 2  x  7.
11. 11 Ví dụ2. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau. M = 3 2x 5 x x Hướng dẫn Bài toán này có sốlẻ các giá trị tuyệt đối, nên ta xét các trường hợp sau.   - Trường hợp : M = 3 2x 5 x x3 5 x x x + 3 + 5 – x = 8. x 3  0  x  3    x 2  0 x  2   Khiđó, M = 8 khi và chỉ khi 5x  0 x  5 x = 2  - Các trường hợp còn lại M x3 x 2 và M  x2 x 5 thì  không tìm được giá trịcủa x thỏa mãn để biểu thức đạt GTNN. Vậy GTNN M = 8 khi x = 2. Ví dụ3. Tìm giá trịlớn nhất của các biểu thức sau. a/ A = x5 x 2 ;  b/ B = xxx2 5 4  Hướng dẫn  a/ Ta có A = x5 x 2 xx 5 ( 2) 7   Khiđó A = 7 khi và chỉ khi (x – 2)(x + 5 – x + 2)  0  x  2. Vậy GTLN A = 7 khi x  2. b/ Bài toán này có sốlẻ các giá trị tuyệt đối, nên ta xét các trường hợp sau.  - Trường hợp : B = xxx2 5 4 x2 x 4 (vì  5 0x)  xx2 4 2  x 5  0  x  5    Khiđó, B = 2 khi và chỉ khi (x 4)( x  2  x  4)  0 x  4 x = 5 - Trường hợp còn lại B  x2 x 5 thì không tìm được giá trịcủa x thỏa mãn để biểu thức đạt GTLN. Vậy GTLN B = 2 khi x = 5. Ví dụ4. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau :  a/ A = x1  2 x  2  x  7  6 x  2 với x 2 ;  b/ B = x2 x  1  5 x  3  4 x  1 x  8 6 x  1 với x 1.
12. 12 Hướng dẫn 2 a/ Đặt t = 2x(t  0), ta có x = 2tnên 2 2 2 2 A = t1  2 t  t  9  6 t  (t  1)  (3 t )  t  1  3 t  t  1  3  t  2 Khiđó, A = 2 khi và chỉ khi   t 1  0 t 1  0  3t   (t – 1)(3 – t) 0 3t  0 hoặc 3t  0 1  29x 11x Với 1 3tkhiđó 1 2 3x1     3   Vậy GTNN A = 2, đạt được khi 3  11x.  2 b/ Đặt t = 1x ( t 0) thì x = 1,t khiđó 2 2 2 B = t1  2 t  5 t  4  4 t t  9  6 t 2 2 2 = (t 1)  5 ( t  2)  ( t  3)      15 2 3tt t     13t t   13t t= 2 (vì 5  20) t t 1  0  t 1    t 2  0 t  2   Khiđó, B = 2 khi và chỉ khi 3t  0 t  3 t = 2   Với t = 2 khiđó 1x= 2 x – 1 = 4 x = 5 Vậy GTNN B = 2, đạt được khi x = 5. Ví dụ5. Tìm giá trịlớn nhất của biểu thức sau.  M = x4  2 x  5  x  1  4x  5 với x 5. Hướng dẫn  2 Đặt t = 5x( t 0 ) thì x = t + 5 2 2 2 2 Khiđó, M = 1  2   4  4tt= ( 1)  t (  2) ttt = t  t   t   t 12= 3 1 2 Khiđó M = 3 khi và chỉ khi (t – 2)( t + 1 – t + 2)  0  t  2       Với t 2 khiđó 5x 2 x – 5 4 x 9 Vậy GTLN M = 3, đạt được khi x  9.
13. 13 c. Bài tập tương tự Bài 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau a/ A =   32;xx b/ B = x2  x  3  x  4  x  5 x  6 Đáp án : a/ GTNN A = 5, khi – 3 2x. b/ GTNN B = 6, khi x = 4. Bài 2. Tìm giá trịlớn nhất của các biểu thức sau. 51xx  a/ A =    ; b/ B = x2  2 x  3  x  1  4x  3 với x 3. Đáp án : a/ GTLN A = 6, khi x  1. b/ GTLN B = 3, khi x 19 . Bài 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau :  a/ A = x3  2 x  4  x  12  8x  4 với x 4 ;  b/ B = x2 x  1  3 x  3  4 x  1  x15  8 x  1 với x 1. Đáp án : a/ GTNN A = 5 khi 4 20x. b/ GTNN B = 5 khi x = 5. Dạng 2.Đa thức một biến hoặc hai biến có bậc chẵn a. Phương pháp giải Để giải được dạng toán này, ta biến đổi biểu thức về các dạng sau :  2n  2n  2n N* f(x) = M g() x  hoặc f(x, y) = M g() x  h() x  (n ) Khiđó tùy theo dấu của g(x), h(x) để tìm GTNN, GTLN. b. Các ví dụ Ví dụ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trịlớn nhất (nếu có) của các biểu thức sau : 2 2 2 a/ A = 2 5xx; b/ B = 3 2 1xx; c/ f(x) =  ( 0)ax. bx c a  Hướng dẫn 22 5xx 2 2 x 1  39  1 39 39 2x 2.     2  x    a/ Ta có A = = 4 16  8  4 8 8 39 1 1 0 x  Khiđó A = 8 khi và chỉ khi x – 4 4 . 39 1 x Vậy GTNN A = 8 , đạt được khi 4 .
14. 14 2 2 3 2 1xx2 x 1  2 1  2 2 3x  2.    3x      b/ Ta có B = = 3 9  3 = 3  3 3 2 1 1   0 x Khiđó B = 3 khi và chỉ khi x - 3 3. 2 1  Vậy GTLN B = 3 , đạt được khi x = 3 .  b c  2 2 x2  x  b  b 4 ac a a  a x    c/ Vì a 0 nên f(x) = a   = 2a  4 a 2 2 b   4bac  a x    = 2a  4 a , với  b -Nếu a > 0 thì GTNN f(x) = 4a , đạt được tại x = 2a .  b -Nếu a < 0 thì GTLN f(x) = 4a , đạt được tại x = 2a . Ví dụ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của các biểu thức sau. a/ A = 44 3 9 2 20 19xx; b/ B = x4 x16 2 12  93xx.  x   Hướng dẫn a/ Ta có A = 44 3 9 2 20 19xx= (x4 4 x 3 x 4 x 2 ) x 5( x2 4 x  4) 1      = x2( x 2) 2 5( x 2)2 1  1   Khiđó A = -1 khi và chỉ khi x – 2 = 0  x = 2. Vậy GTNN A = - 1, đạt được khi x = 2. 4 2 4 2 2 b/ Ta có B = 16 12 93xx= x 18 x x  81   2  x   6 x   9  6 2 2 2 = x9  2 x 3  6  6    Khiđó B = 6 khi và chỉ khi 2 9 0xvà x – 3 = 0 3.x Vậy GTLN B = 6, đạt được khi x = 3. Ví dụ3. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trịlớn nhất (nếu có) của các biểu thức sau : a/ A = x(x + 1)(x + 2)(x + 3) + 13 ; b/ f(x) = (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) + m. (với a, b, c, d, m là các số cho trướcvàa+d=b+c)
15. 15 Hướng dẫn a/ Ta có A = x(x + 1)(x + 2)(x + 3) + 13 3   1 2xx  x x =           + 13 2 2 = x3 x  x 3 x 2  13   2 2  Đặt t = 3 1xxthì A = (t – 1)(t + 1) + 13 = t + 13 - 1 13 - 1 Khiđó A = 13 1khi và chỉ khi t = 0, nghĩa là 2 2 3 1 0xx3   5 3  5 x     2  4  x = 2 13 1 3  5 Vậy GTNN A = , đạt được khi x = 2 . b/ Vì a + d = b + c nên ta biến đổi f(x) như sau : f(x) = (x a )( x  d )   ( x  b )( x  c )  m 2 2 = x()() adxadx      bcxbc     m ad bc ad bc x2 () a  d x  K  Đặt t = 2 , 2 . Ta có : f(x) = (t + K)(t – K) + m = t2 + m – K2 m K2 . ad bc  0 f(x) = m – K2  t = 0  x2 + (a + d)x + 2 2 b d  ()() a  d2  b  c 2 x     2  8 2 2  a d 2 (a d )  ( b  c )  x     2 4 2 2  a d 2 (a d )  ( b  c )  x    Vậy GTNN f(x) = m – K2, đạt được khi 2 4 . Ví dụ4. Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất (nếu có) của các biểu thức sau : a/ A = x24 y 2 4 x 32 y 2092 ;   b/ f(x, y) = ax2 + by2 + cx + dy + e. (Với a, b, c, d, e là những số cho trước và a.b > 0 )
16. 16 Hướng dẫn a/ A = x24 y 2 4 x 32 y 2092   2 2 2 2 = x4 x 4  4  y 8 y 16 2024 = (x  2)  4(  y 4) 2024  2024   Khiđó A = 2024 khi và chỉkhi x–2=0vày+4=0  x = 2 và y = -4. Vậy GTNN A = 2024, đạt được khi x = 2 và y = -4. b/ Ta có : 2 2 2 2 c   d  c d x   b  y    f(x, y) = ax2 + by2 + cx + dy + e = a2a   2 b  + e – 4a 4 b . c2 d 2 c d  -Nếu a, b > 0 thì có GTNN f(x, y) = e – 4a 4 b khi x = 2a , y = 2b . c2 d 2 c d  -Nếu a, b < 0 thì có GTLN f(x, y) = e – 4a 4 b khi x = 2a , y = 2b . Ví dụ5. Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất (nếu có) của các biểu thức sau : a/ A = 2x2 y 2 2 xy 2 x 2 y 12 ;    b/ f(x, y) = ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + h (với a, b, c, d, e, h là những số cho trước và a(4ac b2) > 0 ) Hướng dẫn a/ Ta có A = 2x2 y 2 2 xy 2 x 2 y 12    2 2 2 2 = (x y ) 2( x y ) 1 ( x 2) 7= (x  y  1)  ( x  2) 7  7    Khiđó A = 7 khi và chỉkhix–y+1=0vàx–2=0  x = 2 và y = 3 Vậy GTNN A = 7, đạt được khi x = 2 và y = 3. b/ Vì a(4ac – b2) > 0 nên a  0. Khiđó ta có : 4a.f(x, y) = 4a2 x 2  4 ax ( by  d )  4 acy2  4 aey  4 ah = 4a2 x 2  4 ax ( by  d )  ( by  d )2 ( by  d ) 2  4acy2  4 aey  4 ah 2 2ac bd  (2 ae  bd)2 (2ax by d )2 (4 ac b 2 ) y 4ah d2      2     2 = 4ac b  4 ac  b  d2 (2 ae bd )2   2 . -Nếu a > 0 và 4ac – b2 > 0 thì f(x, y) h 4a 4 a (4 ac b )
17. 17  bc cd 2ax by  d  0 x    4ac b2 2ac bd   2ac bd y 2  0   4ac b y   Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi  4ac b2  d2 (2 ae bd )2   2 . -Nếu a < 0 và 4ac – b2 < 0 thì f(x, y) h 4a 4 a (4 ac b ) Dấu bằng xảy  bc cd 2ax by  d  0 x    4ac b2 2ac bd   2ac bd y 2  0   4ac b y   ra khi và chỉ khi  4ac b2 d2 (2 ae bd )2   2 Vậy khi a > 0 và 4ac – b2 > 0 thì f(x, y) đạt GTNN bằng h 4a 4 a (4 ac b ) bc cd 2ac bd x  y   tại 4ac b2 và 4ac b2 . d2 (2 ae bd )2   2 Khi a > 0 và 4ac – b2 > 0 thì f(x, y) đạt GTLN bằng h 4a 4 a (4 ac b ) tại bc cd 2ac bd x  y   4ac b2 và 4ac b2 . c/ Bài tập tương tự Bài 1. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trịlớn nhất (nếu có) của các biểu thức sau : a/ A = 2 4xx; b/ B = 4 2 6 9xx. x  c/ C = 32 2 1xx; d/ D =  42 3 6 2 10 8.xx x x    15 1 Đáp án : a/ GTNN A = 4 khi x = 2 . b/ GTNN B = 5, đạt được khi x = 1. 2 1 c/ GTLN C = 3 khi x = 3 . d/ GTLN D = - 3 khi x = 1. Bài 2. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trịlớn nhất (nếu có) của các biểu thức sau : a/ A= (x – 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) - 17 ; b/ B = (x2 – 4x – 5)(x2 – 12x+27) – 5 ; c/ C =2024 – (x – 1)(x – 4)(x – 5)(x – 8) ; d/ D = 8 – x(x + 2)(x + 4)(x + 6). Đáp án : a/ GTNN A = -53, đạt được khi x = 0 hoặc x = -5.  b/ GTNN B =-149, đạt được khi x = 4 13 .
18. 18 c/ GTLN C = 2040, đạt được khi x = 2 hoặc x = 7. d/ GTLN D = 24, đạt được khi x = 3 5. Bài 3. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trịlớn nhất (nếu có) của các biểu thức sau : 2 2 a/ A = 2 3 2 1xy; b/ B x = -3x y2 – 2y2 + x  – 2y  – 1. 35 1 1 Đáp án : a/ GTNN A = 24 , đạt được khi x = 4 và y = 3 . 5 1 1 b/ GTLN B = 12 , đạt được khi x = 6 và y = 2 . Bài 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trịlớn nhất (nếu có) của các biểu thức sau : a/ A = 5x2 + 9y2 – 12xy + 24x – 48y + 82 ; b/ B = -3x2 – 16y2 – 8xy + 5x + 2. 16 Đáp án : a/ GTNN A = 2, đạt đượckhix=4vày= 3 . 41 5 5 x b/ GTLN B = 8 , đạt được khi 4 và y = 16 . Dạng 3. Biểu thức là phân thức a/ Phương pháp giải  k 2 Để giải dạng toán này, ta có thể biến đổi biểu thức vềdạng M f() x   2 g() x  2 hoặc M f() x  sauđó tìm GTNN, GTLN. Ngoài ra, khi mẫu của phân thức luôn dương ta có thể biến đổi biểu thức vềdạng tam thức bậc hai ax 2 bx c(a  0) sauđó dựa vàođiều kiện có nghiệm của tam thức bậc hai 2 4 0bac   b (dấu bằng xảy ra khi x = 2a ) để giải vàđôi khi chúng ta cũng sửdụng đến bất đẳng thức phụcủa bất đẳng thức Cauchy để giải. b/ Các ví dụ  x2 2 x  2014 A  . Ví dụ1.Với x 0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x2 (trích đề thi vào lớp 10 năm học 2013 – 2014 của tỉnh Quảng Ngãi)
19. 19 Hướng dẫn Với x 0nhân tử và mẫu của A cho 2014 ta được : 2014(x2  2 x  2014) 2014 x2  2.x .2014 20142 A   2014x2 2014x2 2 2 x2014   2013 x2  x  2014  2013 2013     2014x2 2014 x2 2014 2014 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 2014 0 2014  xx 2013 Vậy GTNN A = 2014 , đạt được khi x = 2014. Ví dụ2. Tìm GTNN, GTLN của các biểu thức sau : 6 4x x2 a/ A = x2 1 ; b/ B = x2 5 x 7 Hướng dẫn a/ Vì x2 + 1 > 0 với mọi x  R. 6 4x Khiđó A = x2 1  A(x2 + 1) = 6 – 4x  Ax2 + 4x + A – 6 = 0 (1) 3 -Nếu A = 0 thì (1) có dạng 4x - 6 = 0  x = 2 . -Nếu A  0 thì (1) là một tam thức bậc haiẩn x có nghiệm khi và chỉ khi 0, hay 2 2   4 4 ( 6) 0AA( 3)  13A 3  -  13 A 3 + 13    Kết hợp cả hai trường hợp, ta có 3 - 13 A 3 + 13 với mọi x R. Khiđó 13 4 3  13  - GTNN A = 3 - khi và chỉ khi x = 2 2A . 13 4 3  13  - GTLN A = 3 + khi và chỉ khi x = 2 2A . 2 5  3 x     0 b/ Ta thấy x2 – 5x + 7 = 2  4 , với mọi x. x2 Khiđó B = x2 5 x 7  B(x2 – 5x + 7) = x2  (B – 1)x2 - 5Bx + 7B = 0 (2)
20. 20 7  -Nếu B = 1 thì (2) có dạng – 5x + 7 = 0  x 5. -Nếu B  1 thì (2) là một tam thức bậc haiẩn x nên có nghiệm khi và chỉ khi   0, hay    28 B = (5B)2 – 4.7B.(B – 1) 0  B(28 – 3B) 0  0 3 28  B Kết hợp cả hai trường hợp ta có 0 3 , với mọi x R. 5B -Với B = 0 khi và chỉ khi x = 2(B 1) = 0 . Vậy GTNN B = 0, khi x = 0. 28 5B 14 28 14 . -Với B = 3 khi và chỉ khi x = 2(B 1) = 5 .Vậy GTLN B = 3 khi x = 5 Ví dụ3. Cho a, b 0. Tìm giá trịlớn nhất của biểu thức: 7(a b )2  9( a  b ) 2 M = 2014(a2 b 2 ) (trích đề thi vào 10 năm học 2014 – 2015 của tỉnh Quảng Ngãi) Hướng dẫn Với a, b 0ta có 2a2  32ab  2b 2  a2  16ab  b 2 16ab 1    M = 2014(a2 b 2 ) 1007(a2  b 2 ) 1007(a2 b 2 ) 1007 2ab a2 b 2 8(a2 b 2 ) 1 7    Do nên M 1007(a2 b 2 ) 1007 1007 Dấu “=” xảy ra khi a = b (khác 0). 7 Vậy GTLN M = 1007 khi a = b (khác 0). c/ Bài tập tương tự Bài 1. Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất (nếu có) của các biểu thức sau : 4x2  6 x  1  x2 4 x  14 1 a/ A = x2 4 x  4 ( x 2) ; b/ B = x2 2 x  1 (x ). Đáp án : a/ GTNN A = -1, đạt được khi x = 1. b/ GTLN B = 2, đạt được khi x = 4.