Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh kẻ thêm đường phụ khi giải một số bài toán Hình học 7

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh kẻ thêm đường phụ khi giải một số bài toán Hình học 7

1. Phòng giáo dục - đào tạo huyện quỳnh phụ Trường thcs quỳnh hội ************************ đề tài hướng dẫn học sinh kẻ thêm đường phụ khi giải một số bài toán hình học 7 Họ và tờn: Trần Thị Thủy Ngày sinh: 20/10/1978 Trỡnh độ đào tạo: Đại học Thỏng năm vào ngành: 03/ 2000 Tháng 4 năm 2014.
2. A. phần mở đầu I. Lý do chọn đề tài: Toán học là một trong những môn khoa học cơ bản, mang tính trừu tượng nhưng mô hình ứng dụng của nó rất rộng rãi và gần gũi trong mọi lĩnh vực của đời sống xã hội, trong khoa học lí thuyết và khoa học ứng dụng. Dạy học sinh học Toán không chỉ là cung cấp kiến thức cơ bản, dạy học sinh giải bài tập SGK, STK mà quan trọng là hình thành cho học sinh phương pháp chung để giải các dạng Toán từ đó giúp các em tích cực hoạt động, độc lập sáng tạo để dần hoàn thiện kỹ năng, kỹ xảo – hoàn thiện nhân cách. Nói đến toán học, người ta không thể không nhắc tới bộ môn hình học. Hình học không chỉ là nền móng vững chắc cho các môn khoa học tự nhiên mà hình học còn là một công cụ rèn trí thông minh, sáng tạo thúc đẩy tư duy của học sinh. Có lẽ cũng chính vì thế mà hình học là một phần không thể thiếu trong hành trang toán học của các em học sinh. Phát triển năng lực trí tuệ theo từng mức độ cho học sinh ngay từ các lớp dưới là trách nhiệm của nhà trường, là đòi hỏi của xã hội, là nỗi mong mỏi của các bậc phụ huynh và cũng là ước muốn chính đáng của bản thân các em học sinh. Trong các môn học, môn Toán đặc biệt có ưu thế về mặt này, song phát triển trí tuệ cho trẻ em thông qua hoạt động học tập, hoạt động vui chơi là một quá trình bền bỉ, không thể tính bằng tuần, bằng tháng. Hơn nữa, còn phải xuất phát từ trình độ nhận thức và hoàn cảnh sống của trẻ em để cho các em luyện tập dần từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp nhằm phát huy ở trẻ óc quan sát nhanh nhạy, trí tưởng tượng phong phú, khả năng suy luận lôgíc...Vậy làm thế nào để môn hình học dù khó vẫn có một sức hấp dẫn cuốn hút kỳ lạ và gây hứng thú cho người học ? Đứng trước yêu cầu đó, là một giáo viên làm công tác bồi dưỡng học sinh giỏi, tôi luôn cố gắng tìm tòi, nghiên cứu, tiếp cận việc đổi mới phương pháp giảng dạy nhằm giúp cho học sinh có được cái nhìn nhanh nhậy từ mỗi bài toán, tạo sự say mê hứng thú trong việc học tập của mình. Từ mỗi bài toán nhỏ, tôi cố gắng khai thác phát
3. triển dưới nhiều góc độ khác nhau làm cho học sinh phải tự suy nghĩ, phải tự tìm tòi và thấy rằng việc học toán thật thú vị, hấp dẫn. Qua mỗi tiết học nâng cao, giáo viên đưa ra kiến thức nào thì nó sẽ là chiếc chìa khoá mở ra cho học sinh nhiều điều mới lạ, thú vị và từ đó xây dựng được khả năng tự học, tự nghiên cứu. Trước thực tế đó, tôi muốn qua bài viết này sẽ trao đổi kinh nghiệm với tất cả các đồng chí đồng nghiệp. II. Mục đích nghiên cứu: Giúp học sinh nắm được cách vẽ đường phụ khi giải một số bài toán so sánh độ dài các đoạn thẳng: So sánh hai đoạn thẳng, một đoạn thẳng với tổng hai đoạn thẳng. III. Giới hạn của đề tài. Trong chứng minh hình học, phần nhiều phải tự vẽ thêm đường mới, tức là phải vẽ thêm đường phụ mới chứng minh được. Việc vẽ thêm đường phụ rất nhiều loại nên không có phương pháp vẽ cố định. Vẽ đường phụ hợp lý là một phương pháp để giải các bài toán hình học. Để tìm ra hướng đi đúng cho một bài toán khó và lạ là một điều không đơn giản. Nhằm giúp các em giải quyết vấn đề khó này, tôi xin đề cập đến cách hướng dẫn học sinh kẻ thêm đường phụ khi giải một số bài toán hình học 7. Song trong phạm vi của đề tài này, tôi sẽ xoay quanh dạng toán về so sánh độ lớn hai đoạn thẳng. Đây là dạng toán quen thuộc mà các em thường gặp. B - phần nội dung Trước hết, học sinh phải thấy được việc kẻ đường phụ nhằm - Biến đổi hình vẽ, làm cho bài toán trở nên chứng minh dễ dàng hơn trước - Tạo nên một hình mới để có thể áp dụng những định lý đặc biệt nào đó. Trong thực tế, việc kẻ thêm đường phụ là một việc làm thực sự khó. Việc kẻ thêm đường phụ phải theo đúng nguyên tắc dựng hình vì nếu không bài toán càng trở nên phức tạp, không tìm ra hướng giải. Chính vì vậy, khi đứng trước một bài toán, các em cần chú ý các điểm sau: - Không phải bài toán nào cũng cần vẽ đường phụ. - Khi vẽ không được tuỳ tiện mà phải hợp lý đúng nguyên tắc các phép dựng hình cơ bản.
4. Các ví dụ cụ thể: 1. Các bài toán so sánh hai đoạn thẳng 1 Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A,  B= 600. Chứng minh rằng AB = BC. 2 *Hướng giải 1: Dựng đoạn thẳng bằng 2AB, sau đó chứng minh 2AB = BC. Với hướng suy nghĩ này hình thành cách vẽ sau: Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho A là B 1 trung điểm của BD AB = BD 2 - Xét ABC và ADC có: AB = AD (cách vẽ)  BAD =  DAC = 900 ( AB  AC) A C AC: cạnh chung ABC = ADC ( c.g.c) BC = DC BCD là tam giác cân tại C Mà  B = 600 (gt) D BDC là tam giác đều 1 1 BD = BC, mà AB = BD . Suy ra: AB = BC 2 2 1 1 *Hướng giải 2: Dựng đoạn thẳng bằng BC , sau đó chứng minh BC = AB . Với 2 2 hướng suy nghĩ này hình thành cách vẽ sau: Trên tia BC lấy D sao cho BD = AB. - B - ABD có AB = BD ABD cân tại B, mà  B = 600(gt) D ABD là tam giác đều C - ABC vuông tại A,  B =600  C = 300 A  B >  C BC > AB, mà AB = BD BC > BD D nằm giữa B và C (1)  BAD +  DAC = 900,
5. mà  BAD = 600 ( ABD đều)  DAC = 300 - ADC có  DAC =  C (=300) ADC cân tại D DA = DC Lại có AD = AB = BD ( ADB đều) DB = DC (2). 1 Từ (1) và (2) suy ra AB = BC 2 Ví dụ 2: Chứng minh rằng trong một tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh ấy. *Hướng giải 1: Dựng đoạn thẳng bằng 2AM, sau đó chứng minh 2AM = BC. Với hướng suy nghĩ này hình thành cách vẽ sau: Trên tia đối của tia MA lấy D sao cho M là trung B 1 D điểm của AD AM = AD 2 ABM và DCM có: BM = MC (AM là trung tuyến) M  AMB =  DMC (đối đỉnh) AM = MD (cách dựng) A C ABM = DCM (cgc)  ABM =  MCD AB // DC, mà AB  AC ( ABC vuông tại A) DC  AC. ABC và DCA có: AB = DC ( ABM = DCM)  BAC =  DCA = 900 AC chung 1 1 ABC = CDA (c.g.c) BC = AD, mà AM = AD AM = BC (đpcm). 2 2 *Hướng giải 2: Dựng đoạn thẳng bằng AM, sau đó chứng minh đoạn thẳng đó bằng 1 BC . Với hướng suy nghĩ này hình thành cách vẽ sau: 2 Gọi M là giao điểm của đường trung trực đoạn AB với cạnh BC Vì M trung trực của BC MB = MA AMB cân tại M  B =  BAM Lại có  B <  BAC  BAM <  BAC AM nằm giữa AB và AC
6. 0  BAM +  MAC = 90 B Mà  B +  C = 900 ( ABC vuông tại A) Từ (1) , (2), (3) suy ra  MAC =  C AMC cân tại M MA = MC (**) M Từ (*) và (**) suy ra MB = MC = MA 1 AM là trung tuyến và AM = BC 2 A C Ví dụ 3: Cho tam giác ABC, D là trung điểm của AB, E là trung điểm của AC. Chứng minh rằng DE = 1 BC. 2 *Hướng giải: Trên tia DE lấy điểm F sao cho E là trung điểm của DF. A Do ADE và CFE có: AE = EC;  AED =  CEF; DE = EF D F ADE = CFE (c.g.c) E  DAE =  ECF AB //CF BDC và FCD có: B C BD = CF (=AD)  BDC =  DCF (so le trong do AB//CF) DC chung 1 1 BDC = FCD (c.g.c) DF = BC; mà DE = DF DE = BC 2 2 Ví dụ 4: Cho tam giác ABC cân tại A, trung tuyến CM. Trên tia đối của tia BA lấy 1 điểm D sao cho BD = BA. Chứng minh rằng : CM = CD. 2 * Hướng giải : - Hướng thứ nhất : Ta dựng đoạn thẳng bằng 2CM rồi chứng minh đoạn thẳng đó bằng CD. Với hướng suy nghĩ này, hình thành các cách vẽ đường phụ. Cách 1 1 Trên tia đối của tia MC lấy điểm N sao cho MN = MC CM = NC (1) 2
7. A Xét BMN và AMC có N MB = MA (M là trung điểm AB ) M  BMN =  AMC (hai góc đối đỉnh ) MN = MC (cách dựng) C B Vậy BMN = AMC (c .g.c) BN = AC Lạicó  BNM=  MCA ( BMN = AMC) D BN // AC  NBC +  BCA = 1800 (hai góc trong cùng phía) Mà  DBC +  CBA = 1800 ( kề bù);  ABC =  ACB( ABC cân tại A )  NBC =  DBC Xét NBC và DBC có NB = BD (=AC );  NBC =  DBC ; BC là cạnh chung NBC = DBC (c.g.c) NC =DC (2) 1 Từ (1) và (2) MC = DC 2 Cách 2 Sử dụng kết quả bài toán trong ví dụ 3, ta sẽ có một số cách vẽ đường phụ như sau: Trên tia đối của tia CB lấy điểm N sao cho CB A = CN Ta có :  DBC +  CBA = 1800(2 góc kề bù) M  ACN +  ACB = 1800(2 góc kề bù) Mà  CBA =  ACB do ABC cân tại A) B C N  DBC =  ACN Ta có : CB = CN (cách dựng), MA = MB (gt) 1 CM = AN (1) 2 D Xét DBC và ACN có: DB = CA (cùng bằng AB);  DBC =  ACN (cmt); BC = CN (cách dựng)
8. DBC = ACN (cgc) DC = AN (2) 1 Từ (1) và (2) CM = DC 2 1 - Hướng thứ hai: Dựng đoạn thẳng khác bằng CD rồi chứng minh cho đoạn thẳng 2 đó bằng CM. Với hướng suy nghĩ này, hình thành các cách vẽ đường phụ như sau Cách 3: Gọi N là trung điểm của AC A 1 NA = NC = AC. 2 1 N Mà AM = AB (vì M là trung điểm của AB); M 2 AB = AC (gt) B C NA = AM Xét ABN và ACM có: NA = AM (cmt);  A chung; AB = AC (gt) Vậy ABN = ACM (c.g.c) BN = CM (1) D 1 Lại có : BA = BD (gt), NA = NC (vì N là trung điểm của AC) BN = CD (2) 2 1 Từ (1) và (2) CM = CD 2 Cách 4: 1 Gọi N là trung điểm của DC ND = NC = DC (1) A 2 1 Ta có: BA = BD (gt) ;ND = NC BN//AC và BN = AC 2 M  DBN =  MAC (cặp góc đồng vị do BN//AC) 1 1 Lại có : MA = AB ; AB = AC(gt) MA = AC B C 2 2 1 BN = MA (cùng bằng AC) 2 N Xét AMC và BND có MA = NB (cmt) D  MAC =  DBN AC = BD (cùng bằng AB) AMC = BND (c.g.c) MC = DN (2)
9. 1 Từ (1) và (2) CM = DC 2 *Khai thác bài toán : Kết quả chứng minh vẫn đúng nếu ABC vuông cân tại A hoặc ABC là tam giác đều(học sinh tự chứng minh). Ví dụ 5: Cho ABC có AB > AC; phân giác AD. Chứng minh rằng DB > DC. * Hướng giải: Tạo ra một đoạn thẳng bằng DB(hoặc DC) và so sánh đoạn thẳng mới với đoạn thẳng còn lại. Với hướng giải như trên ta có thể vẽ đường phụ theo hai cách sau: Cách 1: - Trên tia AB lấy điểm E sao cho AE = AC A - Xét ADC và ADE có : AE = AC(cách vẽ)  A1 =  A2(gt) AD là cạnh chung E ADC = ADE(c.g.c) ED = DC(1) và  D =  D (2) 1 2 B D C - Do AB > AC(gt); AE = AC nên AB > AE E nằm giữa A và B - Ta có  BED là góc ngoài của tam giác AED  BED >  D2 (3)  D2 là góc ngoài của tam giác ABD  D2 >  B (4) Từ (2); (3) và (4)  BED >  B - BED có  BED >  B BD > DE (quan hệ góc và cạnh đối diện) (5) Từ (1) và (5) BD > DC(đpcm) Cách 2: Trên tia AC lấy điểm E sao cho AB = AE A Xét ADB và ADE có: AB = AE(cách vẽ)  BAD =  EAD(gt) AD là cạnh chung ADB = ADE (c - g - c) BD = DF (6) và  ABD =  AED (7) B C Do AB = AF; AB > AC nên AF > AC D C nằm giữa A và F E  BCE là góc ngoài của tam giác ABC  BCE >  ABD (8)
10. Từ (7) và (8)  DCE >  CED CDE có  DCE >  CED DF > DC (quan hệ góc cạnh đối diện) (9) Từ (6) và (9) BD > DC(đpcm) Bài tập tự giải Bài 1: Cho tam giác ABC có BC = 2AB. Gọi D, M lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và BD. Chứng minh rằng AC = 2AM Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A,  A= 1200. Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với AB, cắt BC tại D. Chứng minh rằng BD = 2.DC Bài 3: Cho tam giác ABC, I là giao điểm các đường phân giác của góc B và góc C. M là trung điểm của BC. Biết  BIM= 900; BI = 2.IM. a) Tính số đo  BAC b) Vẽ IH vuông góc với AC, H thuộc AC. Chứng minh rằng BA = 3.IH Bài 4: Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy điểm D nằm trong tam giác ABC sao cho  ADB >  ADC. Chứng minh rằng DC > DB. Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A có  B = 540. Trên AC lấy điểm D sao cho  DBC = 180. Chứng minh BD < AC. 2. Các bài toán so sánh một đoạn thẳng với tổng(hiệu) hai đoạn thẳng Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có  B =  C = 400, phân giác BD. Chứng minh rằng: BD + DA = BC * Hướng giải: Tách BC thành tổng hai đoạn thẳng sao cho từng đoạn thẳng trong tổng đó lần lượt bằng đoạn thẳng BD, DA. Với hướng giải như trên ta có thể vẽ đường phụ như sau - Lấy điểm I trên đoạn BC sao cho BD = BI. Ta cần chứng minh thêm IC = DA - Để chứng minh IC = DA ta tạo ra tam giác chứa cạnh DA bằng tam giác chứa cạnh IC, nghĩa là tạo ra tam giác chứa cạnh DA bằng tam giác ICD.Dựa vào đặc điểm tam giác ICD, ta có thể vẽ đường phụ như sau: Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB tại N. Tam giác AND là tam giác cần dựng. Giải - Trên cạnh BC lấy điểm I sao cho BI = BD - Qua D kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB tại N