Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức đại số

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức đại số

1. Sáng kiến kinh nghiệm: “ Một số phương pháp tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức đại số ’ MỞ ĐẦU Chúng ta biết rằng trong chương trình Toán học ở trường THCS hiện nay, có những bài toán tìm giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất của một biểu thức khi học sinh gặp phải thì rất là bỡ ngỡ và lúng túng . Vì trong chương trình Toán THCS SGK chưa đề cập nhiều về cách giải. Do đó, nhiều học sinh chưa có được phương pháp giải những bài toán dạng như thế này, mà dạng toán này chúng ta đều thấy ở các đề thi học kỳ, HSG, đề thi tuyển sinh vào lớp 10, . Vì thế trong quá trình dạy học (dạy học tự chọn, dạy BDHSG, ) . Chúng ta cần phải trang bị cho học sinh nắm được một số phương pháp giải thường gặp nhất trong chương trình Toán THCS. Để từ đó, mỗi học sinh tự mình giải được các bài toán dạng này một cách chủ động và sáng tạo. Đứng trước thực trạng trên, với tinh thần yêu thích bộ môn, muốn được đóng góp phần nào để gỡ rối cho học sinh. Tôi xin đưa ra một số phương pháp thường gặp để tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của một biểu thức. Người viết: Trần Ngọc Duy - GV trường THCS Nguyễn Trãi – ĐT: 0974267203 1
2. Sáng kiến kinh nghiệm: “ Một số phương pháp tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức đại số ’ NHỮNG CƠ SỞ LÝ THUYẾT VÀ HƢỚNG GIẢI QUYẾT 1. Áp dụng hằng đẳng thức: A2 ±2AB+ B2 = (A±B)2 để biến đổi biểu thức về dạng: * A = a + [f(x)]2 ≥ a suy ra minA = a khi f(x) = 0 * B = b - [f(x)]2 ≤ b suy ra maxB = b khi f(x) = 0 2. Áp dụng tính chất : | x| + | y | ≥ | x + y | để tìm GTNN Dấu “=” xảy ra khi x.y ≥ 0 3. Áp dụng tính chất : | x | - | y | ≤ | x – y | để tìm GTLN Dấu “=” xảy ra khi x ≥ y ≥ 0 hoặc x ≤ y ≤ 0 4. Áp dụng bất đẳng thức: a b a b (a ≥ b ≥0 ) để tìm GTLN. Dấu “=” xảy ra khi b(a-b) = 0 b = 0 hoặc a = b 5. Áp dụng bất đẳng thức: a b a b (a , b ≥0 ) để tìm GTNN Dấu “=” xảy ra khi a.b = 0 a = 0 hoặc b = 0 6. Áp dụng bất đẳng thức CôSi: + Với a ≥ 0, b ≥ 0 thì a + b ≥ 2 ab (1) Dấu “=” xảy ra khi a = b n + Với a1, a2, a3, , an ≥ 0 thì a1+ a2 + a3 + + an ≥ n a1.a2 .a3...an (2) Dấu “=” xảy ra khi a1 = a2 = a3 = ..= an Từ đẳng thức (1) ta suy ra: - Nếu a.b =k ( không đổi) thì min (a +b) = 2 k a = b k 2 - Nếu a +b = k (không đổi ) thì max( a.b) = a = b 4 Từ đẳng thức (2) ta suy ra: Người viết: Trần Ngọc Duy - GV trường THCS Nguyễn Trãi – ĐT: 0974267203 2
3. Sáng kiến kinh nghiệm: “ Một số phương pháp tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức đại số ’ n - Nếu a1.a2.a3 . an = k (không đổi ) thì min(a1+ a2 + a3 + .+ an ) = n k a1 = a2 = a3 = ..= an n k - Nếu a1+ a2 + a3 + + an = k (không đổi ) thì max(a1.a2.a3 . an ) = n a1 = a2 = a3 = ..= an 7. Áp dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai là ∆ ≥ 0 (∆‟ ≥ 0) b b' Dấu „=” xảy ra khi phương trình có nghiệm kép x ( x ) 2a a Người viết: Trần Ngọc Duy - GV trường THCS Nguyễn Trãi – ĐT: 0974267203 3
4. Sáng kiến kinh nghiệm: “ Một số phương pháp tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức đại số ’ NỘI DUNG A/ Phƣơng pháp 1: Áp dụng hằng đẳng thức: A2 ±2AB+ B2 = (A±B)2 để biến đổi biểu thức về dạng: * A = a + [f(x)]2 ≥ a suy ra minA = a khi f(x) = 0 * B = b - [f(x)]2 ≤ b suy ra maxB = b khi f(x) = 0 Thí dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau: a) A = 4x2 + 4x + 11 b) B = (x – 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) c) C = x2 – 2x + y2 – 4y + 7 Giải: a) A = (4x2 + 4x + 1) + 10 = (2x +1)2 + 10 ≥ 10 1 Suy ra minA = 10 khi x = 2 b) B = (x – 1)(x + 6)(x + 2)(x + 3) = (x2 + 5x - 6)(x2 + 5x + 6) = (x2 + 5x )2 – 36 ≥ - 36 Suy ra minB = -36 khi x = 0 hoặc x = -5 c) C = (x2 – 2x + 1) +(y2 – 4y + 4) + 2 = (x -1)2 + (y -2)2 +2 ≥ 2 Suy ra minC = 2 khi x =1 và y = 2 Thí dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau: a) A = 5 - 8x – x2 b) B = 5 – x2 + 2x - 4y2 – 4y Giải: a) Ta có A = - (x2 + 8x + 16) + 21 Người viết: Trần Ngọc Duy - GV trường THCS Nguyễn Trãi – ĐT: 0974267203 4
5. Sáng kiến kinh nghiệm: “ Một số phương pháp tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức đại số ’ = - (x + 4)2 + 21 ≤ 21 Suy ra maxA = 21 khi x = -4 b) Ta có B = - (x2 – 2x + 1) – (4y2 + 4y + 1) + 7 = - (x -1)2 - (2y + 1)2 + 7 ≤ 7 Suy ra maxB = 7 khi x =1 và y = Bài tập: 1. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức: a) A = 4 – x2 +2x b) B = 4x – x2 Giải: a) A = 4 – x2 +2x = 5 – (x2 – 2x +1) = 5 – (x – 1)2 ≤ 5 Suy ra maxA = 5 khi x = 1 b) B = 4x – x2 = 4 – (x2 – 4x + 4) = 4 – (x -1)2 ≤ 4 Suy ra maxB = 4 khi x = 2 1 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau: 2 a) A = x2 + 5y2 -2xy +4y + 3 b) B = (x2 - 2x)(x2 - 2x + 2) c) C = x2 -4xy + 5y2 + 10x - 22y +28 Giải: a) A = (x2 – 2xy +y2) +(4y2 + 4y + 1) +2 2 2 = (x –y) + (2y + 1) + 2 ≥ 2 x y x y 0 Suy ra minA =2 khi 1 2y 1 0 y 2 Vậy minB =2 khi x = y = b) B = (x2 - 2x)(x2 - 2x + 2) Người viết: Trần Ngọc Duy - GV trường THCS Nguyễn Trãi – ĐT: 0974267203 5
6. Sáng kiến kinh nghiệm: “ Một số phương pháp tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức đại số ’ Đặt t = x2 - 2x B = t(t +2) = t2 + 2t = (t2 + 2t + 1) – 1 = (t +1)2 – 1 ≥ -1 MinB = -1 t = -1 x2 - 2x = -1 x2 - 2x +1 =0 (x – 1)2 = 0 x = 1 Vậy minB = -1 khi x = 1 c) C = (x – 2y)2 + 10(x – 2y) + (y – 1)2 + 25 + 2 2 2 = (x – 2y + 5) + (y – 1) + 2 ≥ 2 y 1 0 y 1 MinC = 2 khi x 2y 5 0 x 3 Vậy minC = 2 khi x = -3, y = 1 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 3 A = x 2 x 4 1 Giải: 2 2 1 Ta có A = 1 x 1 1 2 Suy ra maxA =1 khi x = 1 2 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = 4x4 4x2 (x 1) (x 1)2 9 Giải: Ta có B = (2x2 x 1)2 9 9 3 Suy ra minB = 3 khi 2x2 - x – 1 =0 (2x + 1)(x – 1) = 0 x =1 hoặc x = Vậy minB =3 khi x =1 hoặc x = Người viết: Trần Ngọc Duy - GV trường THCS Nguyễn Trãi – ĐT: 0974267203 6
7. Sáng kiến kinh nghiệm: “ Một số phương pháp tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức đại số ’ 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: a) A = (x+1)(x+2)(x+3)(x+4) + 2014 b) B = (x 7)( x 5)( x 6)( x 8) 1954 6. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: a) A = 1890 – (x+3)(x+6)(x+9)(x+12) b) B = 1969 (x 2)( x 9)( x 5)( x 6) 1911 B/ Phƣơng pháp 2: Áp dụng tính chất : | x| + | y | ≥ | x + y | . Để tìm GTNN của biểu thức . Dấu “=“ xảy ra khi x.y ≥ 0 Thí dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau: a) A = | 2x – 5 | + | 2x - 1 | b) B = | x – 1| + | x – 2 | + | x – 3 | c) C = | x - 1| + | x – 2 | + | x – 3 | + | x – 4 | d) D = 25x2 20x 4 25x2 e) E = x2 2x 1 x2 4x 4 x2 6x 9 Giải: a) Ta có A = | 2x – 5 | + | 2x - 1 | = | 2x – 5 | + | 1- 2x | ≥ | 2x – 5 + 1- 2x |= | -4 | = 4 1 5 Suy ra minA = 4 khi (2x – 5)(1 – 2x) ≥ 0 x 2 2 b) B = | x – 1| + | x – 2 | + | x – 3 | Ta có | x – 1| + | x – 3 | = | x – 1| + | 3 – x | ≥ | x – 1 + 3 – x | = 2 Dấu “=“ xảy ra khi (x – 1)(3 – x) ≥ 0 1 x 3 | x – 2| nhỏ nhất khi x =2 Vậy min B = 2 khi x =2 Người viết: Trần Ngọc Duy - GV trường THCS Nguyễn Trãi – ĐT: 0974267203 7
8. Sáng kiến kinh nghiệm: “ Một số phương pháp tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức đại số ’ c) C = | x - 1| + | x – 2 | + | x – 3 | + | x – 4 | = | x - 1| + | x – 4 | + | x – 2 | + | x – 3 | Ta có: | x - 1| + | x – 4 | ≥ | x -1 +4 – x | ≥ 3 Dấu “=“ xảy ra khi (x – 1)(4 – x) ≥ 0 1 x 4 Ta có: | x – 2 | + | x – 3 | ≥ | x -2 +3 – x | ≥ 1 Dấu “=“ xảy ra khi (x – 2)(3 – x) ≥ 0 2 x 3 Vậy minC = 3 + 1 = 4 khi 2 x 3 d)Ta có D = (5x 2)2 25x 2 = | 5x – 2 | + |5x | ≥ |2 - 5x +5 x | = 2 2 Dấu “=“ xảy ra khi (2- 5x)5x ≥ 0 0 x 5 2 Vậy minD = 2 khi 0 x 5 e) Ta có E = (x 1)2 (x 2)2 (x 3)2 = | x – 1| + | x – 2 | + | x – 3 | Vậy minE = 2 khi x =2 ( làm như câu b ) Bài tập: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức a) A = | x – 1 | + | x – 2 | + + | x – 2006 | b) B = 1 6x 9x2 9x2 12x 4 Giải: Chú ý 1: y = | x – a | + | x – b | ( a < b ) Min y = b – a khi a x b a) Ta có A = ( | x – 1 | + | x – 2006 | ) + ( | x – 2 | + |x – 2005 | ) + + ( | x – 1002| + | x -1003 | ) Người viết: Trần Ngọc Duy - GV trường THCS Nguyễn Trãi – ĐT: 0974267203 8
9. Sáng kiến kinh nghiệm: “ Một số phương pháp tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức đại số ’ Suy ra minA = 2005 + 2003 + + 1 khi 1003 x 1004 Vậy minA = 10032 khi b) Ta có B = (3x 1)2 (3x 2)2 = | 3x – 1 | + | 3x – 2 | = | 3x – 1 | + | 2 - 3x | ≥ | 3x – 1 + 2 – 3x | = 1 1 2 Vậy minB = 1 khi (3x – 1)(2 – 3x) ≥ 0 x 3 3 Chú ý 2 : y = | ax – b | + | ax – c | ( b < c ) b c Min y = c – b khi x a a Thí dụ: Tìm GTNN của biểu thức C = | 2x -5 | + | 2x – 7 | 5 7 Suy ra min C = 7 -5 = 2 khi x 2 2 Chú ý 3 : y = | ax + b | + | ax + c | ( b < c ) c b Min y = c – b khi x a a Thí dụ : Tìm GTNN của biểu thức D = | 3x + 5 | + | 3x + 7 | 7 5 Suy ra min D = 7 - 5 =2 khi x 3 3 Bài tập: 1.Tìm GTNN của các biểu thức sau: a) A = (x 1)2 ( x 2) 2 ... ( x 2014) 2 b) B = (x 1)2 ( x 2) 2 ... ( x 2015) 2 2. Tìm GTNN của các biểu thức sau: a) C = 4x2 4x 1 4x2 12x 9 Người viết: Trần Ngọc Duy - GV trường THCS Nguyễn Trãi – ĐT: 0974267203 9
10. Sáng kiến kinh nghiệm: “ Một số phương pháp tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức đại số ’ b) D = 4x2 4x 1 4x2 8x 4 4x2 12x 9 c) E = 4x2 4x 1 4x2 8x 4 4x2 12x 9 4x2 16x 16 3. Tìm GTNN của các biểu thức sau: a) F = | 2x - 1 | + | 2x – 2 | + + | 2x – 2013 | b) G = | 2x - 1 | + | 2x – 2 | + + | 2x – 2014 | c) H = | 2x + 1 | + | 2x + 2 | + + | 2x + 2013 | d) I = | 2x + 1 | + | 2x + 2 | + + | 2x + 2014 | e) K = (2x 1)2 (2 x 2) 2 ... (2 x 2014) 2 f) L = (2x 1)2 (2 x 2) 2 ... (2 x 2015) 2 g) M = (2x 1)2 (2 x 2) 2 ... (2 x 2014) 2 h) N = (2x 1)2 (2 x 2) 2 ... (2 x 2015) 2 i) O = (4x 5)2 (4x 6)2 (4x 7)2 k) P = (4x 5)2 (4x 6)2 (4x 7)2 (4x 8)2 l) Q = (4x 1945)2 (4 x 1946) 2 ... (4 x 2014) 2 m) X = (4x 1975)2 (4 x 1976) 2 ... (4 x 2015) 2 C/ Phƣơng pháp3: Áp dụng tính chất : | x | - | y | ≤ | x – y | để tìm GTLN Dấu “=“ xảy ra khi x ≥ y ≥ 0 hoặc x ≤ y ≤ 0 Thí dụ: Tìm GTLN của các biểu thức sau: a) A = | 3x + 5 | - | 3x + 7 | b) B = | 5x + 7| - | 5x – 2 | c) C = | 4x2 - 1975 | - | -4x2 + 2025 | Giải: a) Ta có A = | 3x + 5 | - | 3x + 7 | | (3x + 5) - (3x + 7) | = 2 7 Dấu “=“ xảy ra 3x 5 3x 7 0 x 3 Người viết: Trần Ngọc Duy - GV trường THCS Nguyễn Trãi – ĐT: 0974267203 10
11. Sáng kiến kinh nghiệm: “ Một số phương pháp tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức đại số ’ 7 Vậy maxA = 2 x 3 b) Ta có B = | 5x + 7| - | 5x – 2 | | (5x + 7) - (5x – 2) | = 9 2 Dấu “=“ xảy ra 5x 7 5x 2 0 x 5 2 Vậy maxB = 9 x 5 2 2 2 2 c) Ta có C = |4x - 1975| - | -4x + 2025| = | 4x - 1975 | - | 4x - 2025| | (4x2 1975) (4x2 2025) | 50 45 x 2 2 2 Dấu “=“ xảy ra 4x 1975 4x 2025 0 45 x 2 45 a bx a b 2 Vậy maxC = 50 45 x 2 Bài tập: Tìm GTLN của các biểu thức sau: a) D = (19x 5)2 (19x 8)2 b) E = |19xx55 1890 | |19 2015 | D/ Phƣơng pháp4: Áp dụng bất đẳng thức: (a ≥ b ≥0 ) để tìm GTLN. Dấu “=“ xảy ra khi b(a-b) = 0 b = 0 hoặc a = b Thí dụ: Tìm GTLN của biểu thức A = x 1 x 8 Giải: Ta có A = x 1 x 8 (x 1) (x 8) 9 3 Dấu “=“ xảy ra khi x - 8 = 0 x = 8 Suy ra maxA = 3 khi x = 8 Người viết: Trần Ngọc Duy - GV trường THCS Nguyễn Trãi – ĐT: 0974267203 11
12. Sáng kiến kinh nghiệm: “ Một số phương pháp tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức đại số ’ Bài tập: Tìm GTLN của các biểu thức sau: a) B = 12xx 2014 12 2015 b) C = 30xx44 1975 30 2015 E/ Phƣơng pháp5: Áp dụng bất đẳng thức: (a , b ≥0 ) để tìm GTNN Dấu “=” xảy ra khi a.b = 0 a = 0 hoặc b = 0 Thí dụ: Tìm GTNN của biểu thức A = x 3 5 x Giải: ĐKXĐ: 3 x 5 Ta có A = x 3 5 x (x 3) (5 x) 2 Dấu “=“ xảy ra khi x =3 hoặc x =5 a b a b Suy ra minA = 2 khi x =3 hoặc x =5 Bài tập: 1.Tìm GTNN của các biểu thức sau: ab a) B = 20x 11 1982 20x 55 b) C = 19xx 1890 19 2015 n a1.a2 .a3...an 2. Cho x + y = 15 . Tìm GTNN của biểu thức D = x 4 y 3 F/ Phƣơng pháp 6: Áp dụng bất đẳng thức CôSi: + Với a ≥ 0, b ≥ 0 thì a + b ≥ 2 (1) Dấu “=” xảy ra khi a = b + Với a1, a2, a3, , an ≥ 0 thì a1+ a2 + a3 + + an ≥ n (2) Người viết: Trần Ngọc Duy - GV trường THCS Nguyễn Trãi – ĐT: 0974267203 12
13. Sáng kiến kinh nghiệm: “ Một số phương pháp tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức đại số ’ n Dấu “=” xảy ra khi a1 = a2 = a3 = ..= an k Từ đẳng thức (1) ta suy ra: n - Nếu a.b =k ( không đổi) thì min (a +b) = 2 a = b k n - Nếu a +b = k (không đổi ) thì max( a.b) = a = b Từ đẳng thức (2) ta suy ra: - Nếu a1.a2.a3 . an = k (không đổi ) thì min(a1+ a2 + a3 + .+ an ) = n a1 = a2 = a3 = ..= an - Nếu a1+ a2 + a3 + + an = k (không đổi ) thì max(a1.a2.a3 . an ) = a1 = a2 = a3 = ..= an Dạng 1: Tìm GTLN của biểu thức có dạng A = f (x) g(x) bậc f(x) bằng bậc g(x) Phương pháp giải: Ta tìm GTLN bình phƣơng biêu thức đó. Sau đó áp dụng BĐT Côsi 2 ab a b Thí dụ: Tìm GTLN của biểu thức A = 3x 5 7 3x Giải: 5 7 ĐKXĐ: x 3 3 Ta có A2 = (3x 5) (7 3x) 2 (3x 5)(7 3x) A2 2 (3x 5) (7 3x) 4 Dấu “=“ xảy ra khi 3x 5 7 3x x 2 2 Vậy maxA = 4 khi x = 2 k Do đó maxA = 2 khi x = 2 k 2 Bài tập: 4 1.Tìm GTLN của các biểu thức sau: a) B = x 5 23 x Người viết: Trần Ngọc Duy - GV trường THCS Nguyễn Trãi – ĐT: 0974267203 13
14. Sáng kiến kinh nghiệm: “ Một số phương pháp tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức đại số ’ b) C = 7xx55 1954 7 2014 2. Cho x + y = 15 . Tìm GTLN của biểu thức D = Chú ý: Tìm GTLN của biểu thức M = ax n b c ax n (b < c ) 2 n c  b Max A = 2(c ± b) khi x = 2a n c  b Suy ra maxA = 2(c b) khi x = 2a f (x) Dạng 2: Tìm GTLN của biểu thức có dạng A = bậc f(x) g(x) bằng bậc g(x). Phƣơng pháp giải: Nhân và chia f(x) với cùng một số khác 0 , sau 1 đó áp dụng BĐT Côsi ab (a b) 2 Thí dụ: Tìm GTLN của biểu thức A = x 9 5x Giải: ĐKXĐ: x 9 x 9 1 x 9 x 9 9 .3 ( 3) x 9 3 1 Ta có A = 2 3 3 5x 5x 5x 10x 30 x 9 x 4 y 3 Dấu “=“ xảy ra khi 3 x 18 3 1 Vậy maxA = khi x = 18 30 Người viết: Trần Ngọc Duy - GV trường THCS Nguyễn Trãi – ĐT: 0974267203 14
15. Sáng kiến kinh nghiệm: “ Một số phương pháp tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức đại số ’ Bài tập: Tìm GTLN của các biểu thức sau: x 16 3x 25 2x 5 a) B = b) C = e) F = 7x 7x 3x 10x 49 2x 2 25 c) D = d) E = 2006x 2006x 2 Hướng dẫn: a) Nhân và chia biểu thức x – 16 cho cùng một số 4 ( 16 4) b) Nhân và chia biểu thức 3x – 25 cho cùng một số 5 ( 25 5 ) c) Nhân và chia biểu thức 10x – 49 cho cùng một số 7 ( 49 7 ) 2 d) Nhân và chia biểu thức 2x – 25 cho cùng một số 5 ( ) e) Nhân và chia biểu thức 2x – 5 cho cùng một số 5 n Chú ý: Tìm GTLN của biểu thức N = ax b cx n a n 2b Suy ra MaxN = khi x = 2c b a f (x) Dạng 3: Tìm GTNN của biểu thức có dạng A = bậc của f(x) g(x) lớn hơn bậc của g(x). Phương pháp giải: Biến đổi biểu thức đã cho thành một tổng của các biểu thức sao cho tích của chúng là một hằng số ( Tách một hạng tử thành tổng của nhiều hạng tử bằng nhau) , rồi áp dụng BĐT Côsi (x 1994)2 Thí dụ : Cho x > 0 , tìm GTNN của biểu thức M = x Giải: Người viết: Trần Ngọc Duy - GV trường THCS Nguyễn Trãi – ĐT: 0974267203 15
16. Sáng kiến kinh nghiệm: “ Một số phương pháp tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức đại số ’ Ta có xx2 2.1994 1994 2 1994 2 1994 2 M= xx 2.1994 2 . 2.1994 2.1994 2.1994 x x x = 4.1994 19942 Dấu “=“ xảy ra khi x x 1994 x Vậy minM = 4.1994 khi x = 1994 Bài tập: 1. Cho x > 0 , tìm GTNN của các biểu thức 4 8 2 a) A = 3x 16 b) B = 7x 256 c) C = 2x 6x 5 x3 x 7 2x Giải: 16 16 16 a) Ta có A = 3x x x x 44 x.x.x. 8 x3 x3 x3 16 Dấu “=“ xảy ra khi x x 2 x3 Vậy minA = 8 khi x = 2 b) Ta có 256 256 256 B = 7x x x x x x x x 88 x.x.x.x.x.x.x. 8.2 16 x7 x7 x7 256 Dấu “=“ xảy ra khi x x 2 x Vậy minB = 16 khi x = 2 5 5 5 5 c) Ta có C = x 3 x 3 2 x. 3 2 3 10 3 2x 2x 2x 2 5 1 Dấu “=“ xảy ra khi x 2x 2 5 x 10 2x 2 1 Vậy minC = 10 3 x 10 2 Người viết: Trần Ngọc Duy - GV trường THCS Nguyễn Trãi – ĐT: 0974267203 16
17. Sáng kiến kinh nghiệm: “ Một số phương pháp tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức đại số ’ 2. Cho a, b, x > 0 . Tìm GTNN của biểu thức D = (x a)(x b) x Giải: Ta có x 2 (a b)x ab ab ab D = x a b 2 x. a b 2 ab a b ( a b)2 x x x ab Dấu “=“ xảy ra khi x x ab x Vậy minD = ( a b)2 khi x ab 3. Cho x 0, tìm GTNN của biểu thức 2 a) E = x 2x 17 b) F = x 6 x 34 2(x 1) x 3 Giải: a) Ta có x 2 2x 1 16 (x 1)2 16 x 1 8 x 1 8 E = 2 . 2.2 4 2(x 1) 2(x 1) 2 x 1 2 x 1 x 1 8 2 x 1 4 x 3 Dấu “=“ xảy ra khi (x 1) 16 2 x 1 x 1 4 x 5 x = - 5 < 0 (loại) Vậy minE = 4 khi x =3 b) Ta có x 6 x 9 25 ( x 3)2 25 25 25 F = x 3 2 ( x 3) 10 x 3 x 3 x 3 x 3 25 x 3 5 x 2 Dấu “=“ xảy ra khi x 3 ( x 3)2 25 x 3 x 3 5 x 8 x 8 0 (loại ) . Do đó x =4 Vậy minF = 10 khi x = 4 Người viết: Trần Ngọc Duy - GV trường THCS Nguyễn Trãi – ĐT: 0974267203 17
18. Sáng kiến kinh nghiệm: “ Một số phương pháp tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức đại số ’ 3 4. Cho x > 0. Tìm GTNN của biểu thức G = x 2000 x Giải: 2000 1000 1000 1000 1000 Ta có G = x 2 x 2 33 x 2 . 3.100 300 x x x x x 1000 Dấu “=“ xảy ra khi x 2 x3 1000 x 10 x Vậy minG = 300 khi x = 10 5. Cho x > y . Tìm GTNN của các biểu thức sau 2 2 2 2 a) H = x 1,2x y , biết x.y = 5 b) I = x y , biết x.y = 2 x y x y Giải: a) Ta có (x y)2 3,2xy 3,2xy 16 16 H = x y x y 2 (x y). 8 x y x y x y x y 16 Dấu “=“ xảy ra khi x y x y 4 . x y Kết hợp với điều kiện x.y =5 ta suy ra được x =5, y =1 hoặc x =-1 , y = -5 Vậy minH = 8 x =5, y =1 hoặc x =-1 , y = -5 (x y)2 2xy 2xy 4 4 b) Ta có I = x y x y 2 (x y). 4 x y x y x y x y 4 Dấu “=“ xảy ra khi x y x y 2 x y Kết hợp với điều kiện x.y =2 ta suy ra được x 1 3, y 1 3 hoặc x 1 3, y 1 3 Vậy minI = 4 hoặc x 1 3, y 1 3 6. Cho x >0 .Tìm GTNN của các biểu thức sau a) K = 1 x x b) P = x 8 x x 1 Người viết: Trần Ngọc Duy - GV trường THCS Nguyễn Trãi – ĐT: 0974267203 18
19. Sáng kiến kinh nghiệm: “ Một số phương pháp tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức đại số ’ Giải: 1 1 a) Ta có K = x 1 2. . x 1 1 x x 1 Dấu “=“ xảy ra khi x x 1 x Vậy minK = 1 khi x = 1 b)Ta có x 8 x 1 9 9 9 9 P= x 1 x 1 2 2 ( x 1). 2 4 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 9 Dấu “=“ xảy ra khi x 1 x 4 x 1 Vậy minQ = 4 khi x = 4 7. Cho x > 9 .Tìm GTNN của các biểu thức sau Q = 4x x 3 Giải: Ta có 4x 4x 36 36 4(x 9) 36 36 36 Q = 4( x 3) 4 x 12 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 36 4x 12 12 12 x 3 36 36 4(xx 3) 24 2 4( 3) 24 48 xx 33 36 x 3 3 x 36 Dấu “=“ xảy ra khi 4( x 3) x 3 x 3 3 x 0 Kết hợp ĐK x > 9 nên x = 0 ( loại ) Vậy minQ =48 khi x =36 8. Tìm GTLN của biểu thức L = 2 x x 1 Người viết: Trần Ngọc Duy - GV trường THCS Nguyễn Trãi – ĐT: 0974267203 19
20. Sáng kiến kinh nghiệm: “ Một số phương pháp tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức đại số ’ Giải: 1 x 1 x 1 x 1 1 Ta qui về tìm GTNN của biểu thức 2 . 2 1 L 2 x 2 2 x 2 2 x 4 x 1 Dấu “=“ xảy ra khi x 1 2 2 x 1 Vậy Min 1 x 1 L Do đó maxL =1 khi x = 1 x 9. Tìm giá GTLN của biểu thức y (x 1982)2 Giải: 1 (x 1982) 2 Ta qui về tìm GTNN của biểu thức y x 1 x 2 19822 2.1982x 19822 19822 Ta có x 2.1982 2 x. 2.1982 4.1982 y x x x 19822 Dấu “=“ xảy ra khi x x 1982 x 1 Vậy min 4.1982 khi x = 1982 y 1 Do đó max y = khi x = 1982 4.1982 Người viết: Trần Ngọc Duy - GV trường THCS Nguyễn Trãi – ĐT: 0974267203 20