SKKN Cách giải một số bài toán thường gặp nhờ sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki tìm giá trị lớn nhất - Giá trị nhỏ nhất cho học sinh Trung học cơ sở

Nội dung text: SKKN Cách giải một số bài toán thường gặp nhờ sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki tìm giá trị lớn nhất - Giá trị nhỏ nhất cho học sinh Trung học cơ sở

1. MỤC LỤC PHẦN 1. MỞ ĐẦU 1 1.1. Lý do chọn sáng kiến 1 1.2. Mụcđích nghiên cứu 1 1.3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 2 1.4. Nhiệm vụ nghiên cứu 2 PHẦN 2. NỘI DUNG 3 2.1. Thời gian thực hiện 3 2.2.Đánh giá thực trạng 3 2.2.1. Kết quả đạt được 3 2.2.2. Những mặt còn hạn chế 3 2.2.3. Nguyên nhân đạt được và nguyên nhân hạn chế: 4 PHẦN 3. GIẢI PHÁP THỰC HIỆN 7 3.1. Căn cứ thực hiện 7 3.2. Nội dung, giải pháp và cách thức thực hiện 7 3.2.1. Nội dung, Phương pháp 7 3.2.2. Giải pháp thực hiện. 7 PHẦN 4. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 22 4.1. Kết quả đạt được 22 4.2. Phạm vi áp dụng: 22 4.3. Kết luận 23 4.4. Những vấn đề kiến nghị 23
2. 3 1. PHẦN MỞ ĐẦU 1.1. Lý do chọn sáng kiến Nâng cao chất lượng học tập của học sinh là con đường duy nhất để đáp ứng mục tiêu giáo dục toàn diện cho học sinh. Bản thân là một giáo viên, tôi muốn học sinh của mình tiến bộ, tiếp thu kiến thức một cách dễ dàng, phát huy tính tích cực, tư duy, sáng tạo. Song song với việc học Toán trong sách giáo khoa, làm bài tập mà giáo viên yêu cầu..., học sinh còn phải biết tìm tòi, nghiên cứu, tổng quát được vấn đề và rút rađiều có ích cho bản thân. Đa sốhọc sinhởcấp trung học cơsởcủa Trường THCS An Hải rất ngại phải va chạm với những bài toán có nội dung tìm giá trịlớn nhất - Giá trị nhỏ nhất của biểu thức. Nguyên nhân chủ quan là các em không định hướng được cách giải, nguyên nhân khách quan là tính phức tạp của bài toán, nên hầu hết học sinh thường gặp khó khăn khi gặp các bài toán có nội dung này. Vì vậy tôi lựa chọn sáng kiến này nhằm giới thiệu cách giải một số bài toán thường gặp nhờsửdụng bất đẳng thức Bunhiacopxki tìm giá trịlớn nhất - Giá trị nhỏ nhất cho học sinh trung học cơsở, góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy trong các nhà trường trung học cơsở hiện nay và chuẩn bị hành trang cho học sinh học tập bộ môn toánởcấp trung học phổ thông. 1.2. Mụcđích nghiên cứu Khi viết sáng kiến này tôi cốgắng hệ thống, xây dựng cô đọng và đầy đủ những phương pháp giải, phát triển bài toán nhằm phát triển tư duy của học sinh. Nâng cao, mởrộng hiểu biết cho học sinh, giúp các em hiểu sâu sắc hơn về các bài tập sửdụng bất đẳng thức Bunhiacopxki để tìm giá trịlớn nhất - giá trị nhỏ nhất Rèn luyện cho học sinh khảnăng tư duy, phân tích bài toán, phát hiện và bồi dưỡng những học sinh có năng khiếu về Toán học.
3. 4 Là tài liệu cho giáo viên tham khảo giúp ích cho việc bồi dưỡng học sinh giỏi, ôn thi vào lớp 10. Đápứng nhu cầu học hỏi, tìm hiểu của học sinh, làm cho các em yêu thích môn Toán hơn. 1.3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu - Đối tượng: Học sinh giỏi lớp 8, lớp 9 Trường THCS An Hải. - Phạm vi: Toán Đại sốlớp 8, lớp 9. 1.4. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu thực hiện việc nâng cao chất lượng giáo viên trong việc hướng dẫn học sinh giải các bài Toán về tìm giá trịlớn nhất - Giá trị nhỏ nhất. Chỉ ra thực trạng của đội ngũ giáo viên khi dạy học sinh giải các bài Toán về tìm giá trịlớn nhất - giá trị nhỏ nhất. Đề xuất một sốdạng toán nhằm giúp học sinh sửdụng bất đẳng thức Bunhiacopxki tìm giá trịlớn nhất - Giá trị nhỏ nhất.
4. 5 2. NỘI DUNG 2.1. Thời gian thực hiện Kế hoạch thực hiện sáng kiến được bắt đầu từhọc kì I năm học 2020 – 2021, được áp dụng trong học kì I học năm 2021 – 2022 cho đến nay. 2.2.Đánh giá thực trạng 2.2.1. Kết quả đạt được - Những năm gầnđây, nhà trường luôn chú trọng đến việc đổi mới phương pháp dạy học nhằm phát triển toàn diện phẩm chất và năng lực cho học sinh, đòi hỏi bản thân giáo viên nỗlực tìm tòi, nghiên cứu những phương pháp dạy học phù hợp để đápứng yêu cầu phát huy tính tích cực, độc lập, sáng tạo của học sinh. Việc nghiên cứu bất đẳng thức Bunhiacopxki để giải toán tìm giá trị lớn nhất - Giá trị nhỏ nhất giúp bản thân có nguồn tư liệu để phục vụ công tác giảng dạy. -Đa sốhọc sinhđã thấy được tầm quan trọng của việc học tập, vì thế ngày càng yêu thích môn học. Việc sửdụng internet ngày càng rộng rãi, giúp các em tìm tòi những tư liệu phục vụ cho việc học và khám phá. 2.2.2. Những mặt còn hạn chế 2.2.2.1. Về phía giáo viên: -Dạng toán về giá trịlớn nhất và giá trị nhỏ nhất là một trong những bài toán khó của trung học cơsở mà giáo viên cũng cần phải có thời gian nghiên cứu về phương pháp và những dạng toán cụ thể nhằm giúp học sinh rèn luyện khảnăng tư duy sáng tạo. - Giáo viên đầu tư thời gian nghiên cứu còn ít. 2.2.2.2. Về phía học sinh: -Mặc dù học sinhđã có ý thức vềtầm quan trọng của môn Toán, tuy nhiên chất lượng học tập môn Toán chưa thật sự cao. - Học sinh gặp khó khăn trong việc sửdụng các dạng vào bài tập. Chưa vững kỹnăng sửdụng bất đẳng thức.
5. 6 - Nhiều học sinh chưa có sựhướng dẫn cụ thể đểnắm bắt tình hình học tập. - Thời gian giảng dạy trên lớp còn hạn chế nên việc rèn luyện kỹnăng cho học sinh chưa nhiều. -Đa sốhọc sinh rất ngại thậm chí “sợ” khi giải toán tìm giá trịlớn nhất - giá trị nhỏ nhất. Từ tâm lý e ngạiđó dẫn đến tình trạng học sinh không quyết tâm, nhiều học sinh cứgặp bài toán tìm tìm giá trịlớn nhất - giá trị nhỏ nhất là bỏ, không chịu tư duy để giải toán. - Việc áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki của học sinhđa sốmới chỉ dừng lạiởmức nhận biết, rất ít học sinh thuần thục kỹnăng và sáng tạo khi vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki vào giải toán. -Bất đẳng thức Bunhiacopxki không được dạy trong chương trình sách giáo khoa, thường dànhưu tiên đểbồi dưỡng học sinh khá, giỏi. Qua khảo sát chất lượng học tập học sinh giỏi của khối 9 bằng những bài tập sửdụng bất đẳng thức Bunhiacopxki tìm tìm giá trịlớn nhất - giá trị nhỏ nhất, trong đầu học kỳ1năm học 2022 – 2023 tại Trường THCS An Hải nhiều em học sinh chưa đạt được kiến thức như mong muốn, tỷlệ chưa làm được dạng toán này còn cao. Bảng 1: Khảo sát chất lượng làm bài tìm tìm giá trịlớn nhất - giá trị nhỏ nhất đầu học kỳ1năm học 2022-2023. Làm bài tốt Làm được Chưa làm được HSG HS được (Điểm 7) (Điểm 5) (Điểm) Lớp khảo sát SL % SL % SL % 9 15 2 13,3 7 46,7 6 40 2.3. Nguyên nhân đạt được và nguyên nhân hạn chế: 2.3.1. Nguyên nhân đạt được: - Các tổ chuyên môn trong nhà trường cũng thường xuyên tổ chức các buổi sinh hoạt, học sinh tham gia hội thi học sinh giỏi cấp Trường, cấp Huyện khối 8, 9.
6. 7 -Vềhọc sinh: +Đa sốhọc sinh chăm ngoan, có ý thức học tập, tiếp thu bài trên lớp, có chuẩn bị bài trước khi đến lớp. + Nhiều học sinh thích tìm tòi, học hỏi. +Đa số các em rất hứng thú trong giờhọc Toán. -Vềbản thân: + Được sự quan tâm tạođiều kiện của Ban giám hiệu nhà trường về công tác giảng dạy và được sựhỗ trợ nhiệt tình từ đồng nghiệp. + Được tham gia tập huấn về chuyên môn nghiệp vụ phục vụ cho công tác đổi mới phương pháp dạy học và kiểm trađánh giá. + Đượcđào tạođúng chuyên ngành, luôn có tinh thần học hỏi để nâng cao tay nghề, luôn nhiệt tình và có trách nhiệm trong các công tác được giao. + Luôn có ý thức tựhọc bồi dưỡng nâng cao trình độ chuyên môn, năng lực sư phạm. + Bản thân luôn tận tâm, sát cánh cùng các em học sinh trong quá trình học về những dạng toán khó. 2.3.2. Nguyên nhân hạn chế: - Ý thức tự giác học tập, rèn luyện của một sốhọc sinh còn hạn chế do các em chưa xác địnhđúng động cơhọc tập. - Đặc biệtđa sốhọc sinh chưa nắm bắt được phương pháp học môn Toán. Một số em lười trong việc thực hiện các hoạt động giáo viên giao, lười chép bài, học bài cũ. -Học sinh cảm thấy phần kiến thức này khó nên không đầu tư nhiều. -Học sinh chưa biết vận dụng tổng hợp các kiến thức liên quanđã học và vận dụng vào giải toán tìm giá trịlớn nhất và giá trị nhỏ nhất nên gặp dạng toán này học sinh thường hay bếtắc trong cách giải. - Tài liệu tham khảo cho việc học của học sinh chưa được phong phú.
7. 8 3. GIẢI PHÁP THỰC HIỆN 3.1. Căn cứ thực hiện Căn cứ Nghị quyết số 29-NQ/TW của Ban Chấp hành Trung ương Đảng (khóa XI) về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục vàđào tạo,đápứng yêu cầu công nghiệp hóa, hiện đại hóa trongđiều kiện kinh tế thị trường định hướng xã hội chủ nghĩa và hội nhập quốc tế nêu rõ mục tiêu tổng quát của giáo dục vàđào tạo là giáo dục con người Việt Nam phát triển toàn diện và phát huy tốt nhất tiềm năng. Căn cứKế hoạch năm học của nhà trường, kế hoạch chuyên môn của Trường THCS An Hải. 3.2. Nội dung, giải pháp và cách thức thực hiện 3.2.1. Nội dung, phương pháp: 3.2.1.1. Nội dung: - Phân loại các dạng, các bài tập cơbản và nâng cao liên quan đến việc sử dụng bất đẳng thức Buinhiacopxki để giải bài tập. - Nêu lên được các phương pháp chính để giải từng bài tập cực trịcụ thể. - Nêu được nhữngđiểm cần chú ý, những kinh nghiệm khi giải các bài toán cực trị liên quan tới chủ đề này. 3.2.1.2. Phương pháp: - Đọc sách, tham khảo tài liệu, tìm hiểu trên mạng Internet. - Thảo luận cùng đồng nghiệp. -Dạy học thực tiễn trên lớp và bồi dưỡng học sinh giỏi để rút kinh nghiệm. - Thông qua học tập bồi dưỡng thường xuyên. 3.2.2. Giải pháp thực hiện Khi dạy học các bài toán cực trị cho học sinh tôiđã dành một phần thời lượng chương trình đểtập trung rèn luyện kĩnăng vận dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho học sinh. Tùy theo đối tượng mà tôi chuẩn bị giáo án phù
8. 9 hợp. Các bài tập đểhọc sinh vận dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki tôi soạn theo 3 mức,đó là: Mức độ 1: Các bài tập này chủyếu dừngởmức độ nhận biết, giúp học sinh bước đầu biết cách vận dụng lí thuyết để giải bài tập. Mức độ 2: Các bài tậpởmức thông hiểu, để giải được các bài tập này học sinh ngoài việc phải nắm chắc những kiến thức cơbản còn phải biết linh hoạt sửdụng nhiều kiến thức, kĩnăng toán học khác. Mức độ 3: Các bài tậpởmức cao hơnđòi hỏi học sinh phải phát huy tốt tư duy toán học, để giải các bài tập này ngoài kiến thức toán học vững vàng học sinh thường phải sửdụng nhiều hoạt động toán học như phánđoán, phân tích, biến đổi, so sánh, tổng hợp, khái quát 3.2.2.1. Lý thuyết vận dụng -Bất đẳng thức Bunhiacopxki áp dụng cho hai bộsố (a, b) và (x, y): (a 2+ b2).(x2+ y2) ( ax + by)2 (1) Bằng kiến thức học sinhđã họcởlớp 8 các em chứng minh được Bất đẳng thức này: (1) a2 x2+ b2x2 + a2y2 + b2y2 a2 x2+ b2y2+ 2abxy a2y2 - 2abxy + b2x2 0 (ay – bx)2 0 (2) (2) luôn luônđúng (1)đúng Dấu “=’’ xảy ra ay = bx (x, y 0) Bất đẳng thức Bunhiacopxki có đặcđiểm khác với bất đẳng thức Côsiở chỗ hai bộsố khôngđòi hỏi phải dương, áp dụng rộng hơn, tuy nhiên đối với từng bài toán cụ thể mà áp dụng cho thích hợp. -Bất đẳng thức Bunhiacopxki áp dụng cho hai bộ ba số (a, b, c) và (x, y, z): (a2+ b2 +c2).(x2+ y2 + z2) ( ax + by +cz)2
9. 10 Dấu “ =’’ xảy ra (x, y, z 0) Có khi người ta viết bất đẳng thứcởdạng : tùy theo từng lúc vận dụng. *Mởrộng áp dụng cho hai bộnsố (a1,a2, a3, ...., an) và ( b1, b2, b3,...., bn): 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (a1 +a2 +a3 +....+an ).(b1 +b2 +b3 + + bn ) (a1b1+a2b2+ +anbn) Dấu “=’’ xảy ra 3.2.2.2. Bài tập vận dụng Đểhọc sinh vận dụng được lý thuyết thành thạo và dần dần tạo nên kỹ năng, kỹxảo cho học sinh thì giáo viên cần đưa ra một hệ thống bài tập hợp lý. Khi giải bài toán bằng cách áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacopxki thì mấu chốt là chọn ra được hai bộsố {a i} và {bi} cho thích hợp với bài toán cụ thể. Thông qua một số bài tập cụ thểtừ đó giáo viên có thểhướng dẫn học sinh tìm ra những dạng chung để áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacopxki. Trong quá trình giảng dạy tôi tổng hợp được một sốdạng chung như sau: Dạng 1. Tìm tìm giá trịlớn nhất - Giá trị nhỏ nhất của biểu thức có dạng: M = a.f(x) + b.g(y) biết f2(x) + g2(y) k2 * Phương pháp giải: Áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai bộsố (a; b) và (f(x); g(y)) ta có: M2 = [a.f(x) + b.g(y)]2 (a2 + b2). [ f2(x) + g2(y)] M2 (a2 + b2). k2 k. Dấu “=” xảy ra Một số bài tập áp dụng:
10. 11 Bài tập 1. Tìm tìm giá trịlớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = x + y biết x2 + y2 = 4 Phân tích:Mấu chốt của việc vận dụng Bunhiacôpski là việc tìm ra hai bộ số thích hợp. Áp dụng Bunhiacopxki cho hai bộsố (1;1) và (x; y) ta có: P2 = (1.x + 1.y)2 (12+ 12)(x2+ y2) Nhưvậy ta có thể biết được biểu thức P 2 nhỏhơn hoặc bằng một hằng số và ta có thểdễ dàng tìm được tìm giá trịlớn nhất, giá trị nhỏ nhất của P. Dấu “=’’ xảy ra Vậy Pmax = Pmin = Để đưa học sinhđi đến dạng tổng quát tađi vào bài tập sau: Bài tập 2. Tìm tìm giá trịlớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = x +2y biết x2 + 4y2 = 2 Ở bài tập này nếu đặt 2y = Y thì hoàn toàn giống dạngở bài tập 1. Từ đó học sinh biết chọn hai bộsố như thế nào thì thích hợp cho những dạng bài tập như thế này. Bài tập 3. Tìm tìm giá trịlớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 4x + 3y biết 4x2 + 3y2 = 7 Phân tích: Cách xác định a, b để áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacopxki vào dạng 1 như thế nào? Các cách xác định a, b: 4x + 3y = a.f(x) + b.g(y) trongđó f 2(x) + g2(y) = 4x2 + 3y2 4x + 3y = 2.2x + Khiđó áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai bộsố A: (2 ; ) và (2x ; ta có: A2 = (4x + 3y) 2 [22 +( )2]. [(2x)2 + 3y2]
11. 12 A2 7.7 |A| 7 Dấu “=” xảy ra Amin = - 7 Amax = 7 x = y = 1 Bài tập 4. Tìm giá trịlớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B = 3x – 2y biết 2x2 + 3y2 = 6 Như đầu bài viết tôiđã trình bày, việc vận dụng Bất đẳng thức Bunhiacopxki phải biết cách chọn lựa cặp số (a; b) và (f(x); g(y)) một cách khéo léo; học sinh phải biết huy động vốn kiến thứcđã học một cách linh hoạt. Phân tích:Ởđây phải biến đổi B = 3x – 2y vềdạng a.f(x)+ b.g(y) 2x2 + 3y2 = B = Chọn (a; b) = ; (f(x); g(y)) = B2 = (3x – 2y) 2 B2 Dấu “= " xảy ra Bmax= 35 và
12. 13 Bmin= -35 và Từ những bài tập như bài tập 1.1, bài tập 1.2 ta tìm ra cách giải tổng quát dạng tìm giá trịlớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức dạng P = ax + by biết c2x2 + d2y2 = k2 Áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai bộsố và . Ta có: P2 mk2 trongđó m = (Các bài tập tương tự ta có thể thay a, b, c, d, k bởi các số thực bất kì khác 0) Bài tập 5. Cho x, y thoả mãn 2x2 + 3y2 = 12. Tìm tìm giá trịlớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = 5x + 4y. Bài tập 6. Cho x, y thoả mãn 3x2 + y2 = 4. Tìm giá trịlớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức N = – x+ y. Bài tập 7. Tìm giá trịlớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = 2x – 5y – 6 biết x2 + y2 = 2. Hướng dẫn:Ứng dụng nhưdạng 1 tìm giá trịlớn nhất, giá trị nhỏ nhất của 2x – 5y sauđó tìm giá trịlớn nhất, giá trị nhỏ nhất của M. Bài tập 8. Cho x, y thoả mãn (x – 1)2 + (2y – 1)2 = 8 Tìm giá trịlớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x + 2y. Ở bài tập này ta áp dụng dạng 1 như thế nào? Hướng dẫn: Từ (x – 1)2 + (2y – 1)2 = 8 ta nghĩ đến áp dụng dạng 1 cho f(x) = x – 1; g(y) = 2y – 1. Muốn tìm a, b phải biến đổi như thế nào ? P = x + 2y = a.(x – 1) + b.(2y – 1) P = 1.(x – 1) + 1.(2y – 1) + 2
13. 14 P – 2 = 1.(x – 1) + 1.(2y – 1) Nhưvậy để tìm được giá trịlớn nhất, giá trị nhỏ nhất của P ta phải tìm giá trịlớn nhất, giá trị nhỏ nhất của P – 2. Áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai bộsố (1 ; 1) và (x–1;2y–1) ta có: (P – 2)2 = (x – 1 + 2y – 1)2 (12 + 12). [(x – 1)2 + (2y – 1)2] (P – 2)2 2.8 = 16 (P – 2)2 = 16 hoặc Bài tập tương tự: a) Tìm giá trịlớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = 3x + 2y biết (3x – 1)2 + (2y – 2)2 = 14 b) Cho x, y là những sốdương thoả mãn : x 2 + y2 2(x + y) Tìm giá trịlớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức N = 2x + y Hướng dẫn: x2 + y2 2(x + y) x2 – 2x + y2 – 2y 0 x2 – 2x + 1 + y2 – 2y + 1 2 (x – 1) 2 + (y – 1) 2 2 * Chú ý : Ta có thểmởrộng dạng 1 như sau: Tìm giá trịlớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức có dạng: M = a.f(x) + b.g(y) + c.h(z) Biết rằng : f2(x) + g2(y) + h2(z) k (k là hằng sốdương) Bài tập 9. Cho x, y, z thoả mãn: x2 + y2 + z2 2 Tìm giá trịlớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = 3x + 2y + z Hướng dẫn: Hoàn toàn tương tự ta áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai bộsố: (3 ; 2 ; 1) và (x, y, z) Câu hỏi đặt ra ngược lại liệu cho biết a.f(x) + b.g(y) cần tìm GTNN của biểu thức dạng f2(x) + g2(y) thì ta tìm như thế nào?
14. 15 Dạng 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức có dạng A = f2(x) + g2(y) Biết rằng: a.f(x) + b.g(y) = k (k, a, b là hằng số) Qua ví dụ bài tập 1.2, từ đó ta rút ra phương pháp giải chung. *Phương pháp giải: Áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai bộsố (a; b) và (f(x); g(y)) ta có: [a.f(x) + b.g(y)]2 (a2 + b2). [ f2(x) + g2(y)] Hay k2 (a2 + b2)AA Dấu “=” xảy ra Một số ví dụ áp dụng: Bài tập 1. Cho x, y thoả mãn 3x – 4y = 5 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = x2 + y2 Phân tích:Đây là một bài tập có thể áp dụng trực tiếp ngayởdạng 2. Áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai bộsố (3; – 4) và (x; y) ta có: (3x – 4y)2 [ 32+( – 4)2] (x2 + y2) 25 25 . M M 1. Dấu “ = “ xảy ra x= và y= Vậy Mmin =1 x= và y= Bài tập 2. Cho 2 số x ;y thoả mãn 3x – 8y = 11.
15. 16 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: N = 4x2 + 5y2. Phân tích: Đểvận dụng dạng 2 ta biến đổi: N = Xác định a, b sao cho: 3x – 8y = a. 2x + b.y = Áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai bộsố và ta có : Dấu “ = “ xảy ra Từ bài tập 2.1; 2.2 ta có thể ra cho học sinh nhiều bài tập đểtự luyệnở dạng 2 ta chỉcần thay đổi các bộsố. Bài tập 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 3x2 + 5y2 biết x + y = 2 Bài tập 4. Cho x, y là những số thoả mãn 5x – 3y = 4 Tìm giá trị nhỏ nhất, của biểu thức: P = 2012 + 4x2 + 5y2 Hướng dẫn: Để tìm giá trị nhỏ nhất của P thì đầu tiên tìm giá trị nhỏ nhất của 4x2 + 5y2 . Đểsửdụng dạng 2, nhiều khi phải tự phát hiện lượng a.f(x) + b.g(y) = k ta có bài tập sau : Bài tập 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = (3x – 2y – )2 + (– 6x + 4y + 3)2 Phân tích: Trong bài này ta nhận thấy
16. 17 2(3x – 2y – 1) + (– 6x + 4y + 3) =1 là một hằng số đểvận dụng dạng 2 ta chọn f(x, y) = 3x – 2y – 1; g(x, y) = – 6x + 4y + 3 Áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai bộsố: (2 ; 1) và (3x –2y – 1 ; – 6x + 4y + 3) ta có : [2(3x – 2y – 1) + (– 6x + 4y + 3)]2 (22 + 12).A 1 5.A A Amin = 15x= 10y + 7 x = y + Bài tập tự giải: Bài tập 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = (3x – 4y + 1)2 + ( x – y + 3)2 Hướng dẫn: Áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai bộsố (2; – 5) và [(3x – 4y +1); ( x – y + 3)] Nhưvậy việc tìm bộsố và lượng k là vấn đềmấu chốt nhưng không phải lúc nào ; k cũng là những hằng số. Bài tập 7. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = với 0 < x < 3 Hướng dẫn: Để ý ta thấy với 0 < x < 3 thì: A = Lúc này ta có thểvận dụng với f(x) = g(x) = Còn chọn k, , bằng bao nhiêu? , phải thoả mãnđiều kiện gì? không đổi Chú ý: và
17. 18 Từ đó chọn: Áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai bộsố và ta có: A Hoàn toàn tương tự ta có thể giải những bài dạng : Tìm giá trị nhỏ nhất củaA= với m, n, a, b, c là những hằng sốdương và . Từ đây ta có thểmởrộng dạng 2 cho trường hợp các biểu thức nhiều biến với hai bộsốtươngứng. Bài tập 8. Tìm giá trị nhỏ nhất của A = 3x2 + 2y2 + z2. Biếtx+y+z =2 Áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai bộsố và ta có : (x + y + z )2 AA Dấu “ =’’ xảy ra Bài tập 9. Cho x, y, z, t có tổng bằng 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của x2 + y2 + z2 + t2.
18. 19 Hướng dẫn: Áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai bộsố (1; 1; 1; 1) và (x; y; z; t) Bài tập 10. Cho x, y, z là những sốdương thoả mãn: 2x + 4y + 5z =11. Tìm giá trị nhỏ nhất củaA= .Hướng dẫn: Ta chọn bộ ba số là Tại sao ta lại chọn được nhưvậy ? Ta nhận thấy: x, y, z > 0 thì A = và 2x + 4y + 5z = k = 11 thì ; ; thoả mãn: 2x + 4y + 5z = . Đểý đến mối liên hệ giữa 2x + 4y + 5z và biểu thức Ađó là Từ đó Áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai bộsố và ta có : A.11 112 A 11 Dấu “ =’’ xảy ra x= y = z = 1
19. 20 Dạng 3. Tìm giá trịlớn nhất của biểu thức có dạng: A = + Với ; ;k là các hằng số; f(x) 0; g(x) 0 và f(x) + g(x) = k 2 Phương pháp giải chung như thế nào? Chọn bộ hai số như thế nào cho thích hợp? *Phương pháp giải: Áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai bộsố ( ) và ( ) ta có: A 2 A2 |A| k. Dấu “ = “ xảy ra Một số bài tập áp dụng : Bài tập 1. Tìm giá trịlớn nhất của biểu thức: A = với4 x 8 So sánh trong dạng 3 : bộ()ởđây là (1; 1) f(x) = x – 4; g(x) = 8 - x f(x) + g(x) = 4 Áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai bộsố và ( ) ta có: A 2 = () 2 (12 + 12)(x - 4 + 8 - x) A2 2.4 =8 A= Dấu “ = “ xảy ra x = 6 Vậy Amax = x = 6